Una caja abierta de volumen máximo debe construirse con un pedazo cuadrado de material
de 24 centímetros por lado cortando cuadrados iguales de las esquinas y doblando los lados
hacia arriba. Exprese el volumen V como una función de 𝑥, la longitud de los cuadrados de
las esquinas. ¿Cuál es el dominio de la función?

Para resolver este problema, consideremos los siguientes pasos:

1. **Dimensiones de la caja después de los cortes:**
   - Si cortamos cuadrados de lado \( x \) en cada esquina de la pieza cuadrada de 24 cm por lado, las dimensiones del material que quedan serán:
     - Longitud: \( 24 - 2x \) (ya que estamos cortando \( x \) en cada uno de los dos lados).
     - Ancho: \( 24 - 2x \) (por la misma razón).
   - La altura de la caja será \( x \), que es la longitud del cuadrado cortado y doblado hacia arriba.

2. **Expresión del volumen \( V(x) \):**
   - El volumen de la caja es el producto de su largo, ancho y altura:
   \[
   V(x) = (24 - 2x)(24 - 2x)(x)
   \]
   - Simplificamos la expresión:
   \[
   V(x) = x(24 - 2x)^2
   \]

3. **Dominio de la función:**
   - Para que la caja tenga sentido físico, las dimensiones deben ser positivas. Esto implica:
     - \( 24 - 2x > 0 \) (las longitudes deben ser positivas).
     - \( x > 0 \) (la altura debe ser positiva).
   - Resolviendo la desigualdad \( 24 - 2x > 0 \):
     \[
     24 > 2x \implies x < 12
     \]
   - Entonces, \( x \) debe estar en el intervalo \( 0 < x < 12 \).

   Por lo tanto, el dominio de la función \( V(x) \) es \( 0 < x < 12 \).

### Resumen:
- La función del volumen es \( V(x) = x(24 - 2x)^2 \).
- El dominio de la función es \( 0 < x < 12 \).

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se encuentra el valor de \( x \) que maximiza el volumen?
2. ¿Cómo afecta un cambio en las dimensiones originales de la caja al volumen máximo?
3. ¿Qué sucede con el volumen si \( x \) es igual a 12 cm?
4. ¿Qué implicaciones tiene el dominio de la función en la construcción física de la caja?
5. ¿Cómo se vería la gráfica de \( V(x) \) y qué información se puede extraer de ella?

### Tip:
Cuando se enfrenta a problemas de optimización como este, es útil encontrar el valor de \( x \) que maximiza la función para asegurar que la caja tenga el volumen máximo posible.

Explore how to maximize the volume of an open box constructed from a square piece of material by cutting equal squares from the corners and folding up the sides. Includes a detailed solution and domain analysis. Suitable for high school students.

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