Una empresa Fabrica 2 articulos en cantidades X;Y, su funcion de costos viene dada por C(X;Y)=2X^2+Y^2+XY+40 CALCULADO EN PESOS. Calcular la Màxima cantidad de articulos que fabricara cuando el costo total sea de $7870.

Para resolver este problema, necesitamos encontrar los valores de $ X $ y $ Y $ que satisfacen la función de costo dada por $ C(X, Y) = 2X^2 + Y^2 + XY + 40 $ cuando el costo total es 7870 pesos. Esto se plantea como una ecuación en dos variables:

\[ 2X^2 + Y^2 + XY + 40 = 7870 \]

Restamos 40 de ambos lados de la ecuación para simplificar:

\[ 2X^2 + Y^2 + XY = 7830 \]

Ahora, buscamos los valores de $ X $ y $ Y $ que satisfacen esta ecuación. Esto se puede resolver usando técnicas algebraicas o métodos numéricos. Vamos a explorar una posible solución.

### Intentamos valores posibles:

Supongamos diferentes valores para $ X $ y resolvamos para $ Y $:

1. Para $ X = 30 $:
\[ 2(30)^2 + Y^2 + 30Y = 7830 \]
\[ 1800 + Y^2 + 30Y = 7830 \]
\[ Y^2 + 30Y + 1800 - 7830 = 0 \]
\[ Y^2 + 30Y - 6030 = 0 \]

Esta es una ecuación cuadrática en $ Y $. La resolvemos usando la fórmula cuadrática:

\[ Y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
donde $ a = 1 $, $ b = 30 $ y $ c = -6030 $:

\[ Y = \frac{-30 \pm \sqrt{30^2 - 4(1)(-6030)}}{2(1)} \]
\[ Y = \frac{-30 \pm \sqrt{900 + 24120}}{2} \]
\[ Y = \frac{-30 \pm \sqrt{25020}}{2} \]
\[ Y = \frac{-30 \pm 158.19}{2} \]

Esto nos da dos soluciones:
\[ Y = \frac{128.19}{2} = 64.095 \]
\[ Y = \frac{-188.19}{2} = -94.095 \]

Estos son posibles valores para $ Y $.

### Máxima cantidad de artículos

Para determinar la máxima cantidad de artículos fabricados, sumamos las cantidades obtenidas:

- Si $ X = 30 $ y $ Y = 64.095 $, la cantidad total es $ X + Y = 30 + 64.095 = 94.095 $.
- Si $ X = 30 $ y $ Y = -94.095 $, la cantidad total es $ X + Y = 30 - 94.095 = -64.095 $.

Dado que la producción de artículos no puede ser negativa, la solución válida es:

\[ X + Y = 94.095 \]

Por lo tanto, la máxima cantidad de artículos que puede fabricar la empresa cuando el costo total es de 7870 pesos es aproximadamente 94 artículos.

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí hay 5 preguntas que puedes hacer:
1. ¿Cómo resolvemos una ecuación cuadrática?
2. ¿Cuál es la fórmula cuadrática?
3. ¿Cómo se determinan los valores de $ X $ y $ Y $ en otros contextos?
4. ¿Qué técnicas algebraicas se usan para resolver sistemas de ecuaciones?
5. ¿Cómo interpretamos soluciones negativas en problemas de producción?

**Tip:** En problemas de optimización, siempre revisa las condiciones de factibilidad para asegurar que las soluciones obtenidas sean prácticas en el contexto dado.

Learn how to maximize production quantity when the total cost function $C(X,Y)=2X^2+Y^2+XY+40$ equals $7870 pesos. Detailed step-by-step solution includes solving quadratic equations and optimization techniques.

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