Hallar el costo mínimo de producción de 20 000 unidades de un producto, si el nivel de producción está dado por P(x,y)= 100 x a la 0.25 y 0.75 , donde denota el número de total de unidades de trabajo y el número total de unidades de capital, el costo de trabajo en 48 pesos la unidad y el de capital es de 36 pesos la unidad (Utilice el método de Lagrange).

Para hallar el costo mínimo de producción utilizando el método de Lagrange, seguiremos los siguientes pasos:

1. **Definir la función objetivo y la restricción:**

   La función objetivo es el costo total de producción, que está dado por:
   \[
   C(x, y) = 48x + 36y
   \]
   donde \(x\) es el número de unidades de trabajo y \(y\) es el número de unidades de capital.

   La restricción es la función de producción, que debe ser igual a 20,000 unidades:
   \[
   P(x, y) = 100 x^{0.25} y^{0.75} = 20000
   \]

2. **Formular el problema usando multiplicadores de Lagrange:**

   Definimos la función de Lagrange:
   \[
   \mathcal{L}(x, y, \lambda) = 48x + 36y + \lambda (20000 - 100 x^{0.25} y^{0.75})
   \]

3. **Encontrar las derivadas parciales de \(\mathcal{L}\) y igualarlas a cero:**

   \[
   \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 48 - 25 \lambda x^{-0.75} y^{0.75} = 0
   \]
   \[
   \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 36 - 75 \lambda x^{0.25} y^{-0.25} = 0
   \]
   \[
   \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 20000 - 100 x^{0.25} y^{0.75} = 0
   \]

4. **Resolver el sistema de ecuaciones:**

   De la primera ecuación, podemos despejar \(\lambda\):
   \[
   \lambda = \frac{48}{25} x^{0.75} y^{-0.75}
   \]

   De la segunda ecuación, también podemos despejar \(\lambda\):
   \[
   \lambda = \frac{36}{75} x^{-0.25} y^{0.25}
   \]

   Igualando estas dos expresiones para \(\lambda\):
   \[
   \frac{48}{25} x^{0.75} y^{-0.75} = \frac{36}{75} x^{-0.25} y^{0.25}
   \]

   Simplificamos esta ecuación:
   \[
   \frac{48}{25} x^{0.75} y^{-0.75} = \frac{12}{25} x^{-0.25} y^{0.25}
   \]
   \[
   48 x^{0.75} y^{-0.75} = 12 x^{-0.25} y^{0.25}
   \]
   \[
   48 x y^{-1} = 12 x^{-1} y
   \]
   \[
   48 x^2 = 12 y^2
   \]
   \[
   4 x^2 = y^2
   \]
   \[
   y = 2x
   \]

5. **Sustituir \(y = 2x\) en la restricción:**

   \[
   100 x^{0.25} (2x)^{0.75} = 20000
   \]
   \[
   100 x^{0.25} 2^{0.75} x^{0.75} = 20000
   \]
   \[
   100 \cdot 2^{0.75} x = 20000
   \]
   \[
   x = \frac{20000}{100 \cdot 2^{0.75}}
   \]
   \[
   x = \frac{200}{2^{0.75}}
   \]
   \[
   x \approx 112.94
   \]

6. **Calcular \(y\):**

   \[
   y = 2x = 2 \cdot 112.94 \approx 225.88
   \]

7. **Calcular el costo total:**

   \[
   C(x, y) = 48x + 36y
   \]
   \[
   C(112.94, 225.88) = 48 \cdot 112.94 + 36 \cdot 225.88
   \]
   \[
   C \approx 48 \cdot 112.94 + 36 \cdot 225.88
   \]
   \[
   C \approx 5421.12 + 8131.68
   \]
   \[
   C \approx 13552.80
   \]

Por lo tanto, el costo mínimo de producción de 20,000 unidades es aproximadamente 13,552.80 pesos.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

---

1. ¿Qué es el método de Lagrange y cómo se aplica en la optimización?
2. ¿Cómo se derivan las ecuaciones de Lagrange a partir de una función objetivo y restricciones?
3. ¿Qué otros métodos se pueden usar para encontrar costos mínimos en producción?
4. ¿Qué papel juegan los multiplicadores de Lagrange en la solución de este tipo de problemas?
5. ¿Cómo se interpretan las soluciones obtenidas en el contexto de optimización de costos?
6. ¿Qué impacto tienen los cambios en los costos de trabajo y capital en la función de costo?
7. ¿Cómo se podría extender este método a problemas con más de una restricción?
8. ¿Qué otros ejemplos prácticos se pueden resolver utilizando el método de Lagrange?

**Tip:** Siempre revisa y verifica las unidades y magnitudes de tus variables para asegurar que los resultados sean coherentes y prácticos en el contexto del problema.

Learn how to minimize production costs for 20,000 units using Lagrange multipliers with a detailed step-by-step solution. This problem involves optimizing a cost function based on labor and capital costs, subject to a production function constraint. Suitable for university-level students and professionals.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation