resolve con lagrange, funcion a maximizar= x+y, restriccion x 
2
 +2y 
2
 +xy-8750

Para resolver este problema utilizando el método de **Lagrange**, vamos a maximizar la función \( f(x, y) = x + y \) sujeta a la restricción \( g(x, y) = x^2 + 2y^2 + xy - 8750 = 0 \).

El método de Lagrange implica que debemos encontrar los puntos críticos resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:

1. La función objetivo a maximizar:
   \[
   f(x, y) = x + y
   \]

2. La restricción:
   \[
   g(x, y) = x^2 + 2y^2 + xy - 8750 = 0
   \]

3. El multiplicador de Lagrange, \( \lambda \), se introduce para formar la función de Lagrange:
   \[
   \mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda g(x, y)
   \]
   Esto nos da:
   \[
   \mathcal{L}(x, y, \lambda) = x + y - \lambda (x^2 + 2y^2 + xy - 8750)
   \]

4. Ahora, derivamos parcialmente \( \mathcal{L} \) con respecto a \( x \), \( y \), y \( \lambda \) y las igualamos a cero:

   \[
   \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 1 - \lambda (2x + y) = 0
   \]
   \[
   \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 1 - \lambda (4y + x) = 0
   \]
   \[
   \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(x^2 + 2y^2 + xy - 8750) = 0
   \]

Voy a resolver este sistema de ecuaciones para obtener los valores de \( x \), \( y \) y \( \lambda \).Dado que actualmente no puedo realizar cálculos avanzados, te guiaré paso a paso para que puedas resolver el sistema de ecuaciones:

### Paso 1: Derivadas parciales de \(\mathcal{L}\)

1. **Derivada parcial con respecto a \(x\):**

   \[
   \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 1 - \lambda (2x + y) = 0
   \]
   \[
   \lambda (2x + y) = 1 \quad \text{(Ecuación 1)}
   \]

2. **Derivada parcial con respecto a \(y\):**

   \[
   \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 1 - \lambda (4y + x) = 0
   \]
   \[
   \lambda (4y + x) = 1 \quad \text{(Ecuación 2)}
   \]

3. **Derivada parcial con respecto a \(\lambda\):**

   \[
   \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(x^2 + 2y^2 + xy - 8750) = 0
   \]
   \[
   x^2 + 2y^2 + xy = 8750 \quad \text{(Restricción)}
   \]

### Paso 2: Resolver el sistema de ecuaciones

Tienes el sistema:

1. \( \lambda (2x + y) = 1 \)
2. \( \lambda (4y + x) = 1 \)
3. \( x^2 + 2y^2 + xy = 8750 \)

### Paso 3: Sustitución

1. De la Ecuación 1 y la Ecuación 2, puedes despejar \( \lambda \):

   \[
   \lambda = \frac{1}{2x + y} = \frac{1}{4y + x}
   \]

2. Igualando estas dos fracciones:

   \[
   \frac{1}{2x + y} = \frac{1}{4y + x}
   \]
   \[
   4y + x = 2x + y
   \]
   \[
   3y = x \quad \text{(Ecuación 4)}
   \]

### Paso 4: Sustitución en la restricción

Sustituye \( x = 3y \) en la restricción:

\[
(3y)^2 + 2y^2 + 3y \cdot y = 8750
\]
\[
9y^2 + 2y^2 + 3y^2 = 8750
\]
\[
14y^2 = 8750
\]
\[
y^2 = \frac{8750}{14}
\]
\[
y = \sqrt{\frac{8750}{14}}
\]
\[
y \approx 25.03
\]

### Paso 5: Obtener \( x \)

Usando \( x = 3y \):

\[
x = 3 \times 25.03 \approx 75.09
\]

### Paso 6: Calcular \( x + y \)

Finalmente:

\[
x + y \approx 75.09 + 25.03 \approx 100.12
\]

**Respuesta final:** La cantidad máxima de artículos que se pueden fabricar es aproximadamente **100** unidades.

Si tienes alguna pregunta o deseas más detalles sobre este proceso, estoy aquí para ayudarte. 

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta el valor de \(\lambda\) al resultado?
2. ¿Qué sucedería si se modifica la función objetivo?
3. ¿Cómo podríamos resolver el problema utilizando un enfoque gráfico?
4. ¿Qué otros métodos pueden usarse para resolver este tipo de problemas?
5. ¿Cómo afecta la forma de la restricción a la solución?
6. ¿Cómo se pueden verificar los resultados obtenidos?
7. ¿Cómo se relaciona este problema con la programación no lineal?
8. ¿Qué implicaciones tiene el resultado para la gestión de la producción?

**Tip:** El método de Lagrange es especialmente útil cuando la restricción no permite un enfoque directo para encontrar extremos. Siempre revisa si las soluciones cumplen las condiciones iniciales.

Learn how to maximize the function f(x, y) = x + y using Lagrange multipliers method under the constraint g(x, y) = x^2 + 2y^2 + xy - 8750 = 0. Follow a step-by-step guide to find critical points and solve the system of equations. Suitable for advanced undergraduate students studying optimization.

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