Olá, boa tarde! Poderia criar uma questão de logarítmico voltada para área da ecologia vegetal?


Boa tarde! Claro, aqui está uma questão de logaritmos voltada para a área da ecologia vegetal:

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**Questão:**

Um estudo sobre a densidade populacional de uma espécie de planta foi conduzido em uma floresta tropical. A densidade \( D \) (número de plantas por metro quadrado) dessa espécie foi modelada pela seguinte função logarítmica em relação ao tempo \( t \) (em anos):

\[ D(t) = \log_{2}(4t + 1) \]

**a)** Determine a densidade populacional da espécie após 3 anos.

**b)** Encontre o tempo necessário para que a densidade populacional atinja 4 plantas por metro quadrado.

**c)** Se a área estudada é de 1000 metros quadrados, qual será o número total de plantas após 5 anos?

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**Resolução:**

**a)** Para determinar a densidade populacional após 3 anos, substituímos \( t = 3 \) na função \( D(t) \):

\[ D(3) = \log_{2}(4 \cdot 3 + 1) = \log_{2}(12 + 1) = \log_{2}(13) \]

**b)** Para encontrar o tempo necessário para que a densidade populacional atinja 4 plantas por metro quadrado, resolvemos a equação \( D(t) = 4 \):

\[ 4 = \log_{2}(4t + 1) \]

Convertendo o logaritmo para sua forma exponencial:

\[ 2^4 = 4t + 1 \]

\[ 16 = 4t + 1 \]

\[ 16 - 1 = 4t \]

\[ 15 = 4t \]

\[ t = \frac{15}{4} = 3,75 \text{ anos} \]

**c)** Para determinar o número total de plantas após 5 anos em uma área de 1000 metros quadrados, primeiro calculamos a densidade para \( t = 5 \):

\[ D(5) = \log_{2}(4 \cdot 5 + 1) = \log_{2}(20 + 1) = \log_{2}(21) \]

Para converter \(\log_{2}(21)\) em um valor numérico aproximado, usamos a base 2:

\[ \log_{2}(21) \approx 4,39 \]

Portanto, a densidade populacional após 5 anos é aproximadamente 4,39 plantas por metro quadrado. O número total de plantas em 1000 metros quadrados será:

\[ \text{Número total de plantas} = 1000 \times 4,39 = 4390 \text{ plantas} \]

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Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão cinco perguntas relacionadas para expandir seu entendimento:

1. Como a densidade populacional muda se a função logarítmica for \( D(t) = \log_{2}(8t + 1) \)?
2. O que aconteceria com o tempo necessário para atingir uma densidade de 4 plantas por metro quadrado se a base do logaritmo fosse 10 em vez de 2?
3. Se a função densidade fosse \( D(t) = \log_{3}(4t + 1) \), como isso afetaria os resultados?
4. Qual seria a densidade após 10 anos usando a função original \( D(t) = \log_{2}(4t + 1) \)?
5. Como modelar a densidade populacional se a taxa de crescimento da população de plantas for exponencial em vez de logarítmica?

**Dica:** Lembre-se de que os logaritmos podem transformar multiplicações e potências em operações mais simples, como adições e multiplicações, facilitando a resolução de muitos problemas complexos.

Explore a logarithmic problem in ecological modeling focused on determining population density of a plant species over time in a tropical forest. Includes step-by-step solutions and applications of logarithmic functions. Suitable for advanced high school students and ecology enthusiasts.

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