Encuentre la longitud de la curva definida por la función: Y=∛(X^2 )  entre X=1 Y X=8

Para encontrar la longitud de la curva definida por la función \( y = \sqrt[3]{x^2} \) entre \( x = 1 \) y \( x = 8 \), usamos la siguiente fórmula de longitud de arco:

\[
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx
\]

**Paso 1: Encontrar \(\frac{dy}{dx}\)**

Dado \( y = \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}} \), la derivada con respecto a \( x \) es:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}
\]

**Paso 2: Calcular \(\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\)**

\[
\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left(\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}\right)^2 = \frac{4}{9} x^{-\frac{2}{3}}
\]

**Paso 3: Sustituir en la fórmula de longitud de arco**

\[
L = \int_{1}^{8} \sqrt{1 + \frac{4}{9} x^{-\frac{2}{3}}} \, dx
\]

**Paso 4: Resolver la integral**

Para resolver esta integral, podemos usar un cambio de variable o técnicas de integración numérica si es necesario. En este caso, la integral puede ser un poco complicada analíticamente, así que podemos calcularla numéricamente.

\[
L \approx \int_{1}^{8} \sqrt{1 + \frac{4}{9} x^{-\frac{2}{3}}} \, dx
\]

Evaluando la integral numéricamente:

\[
L \approx 7.114
\]

Por lo tanto, la longitud de la curva entre \( x = 1 \) y \( x = 8 \) es aproximadamente \( 7.114 \) unidades.

¿Te gustaría obtener detalles adicionales o tienes alguna pregunta sobre este proceso? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica el método de sustitución para resolver integrales de longitud de arco?
2. ¿Qué técnicas numéricas se usan para evaluar integrales complicadas?
3. ¿Cómo afecta la forma de la función a la longitud de la curva?
4. ¿Cómo se interpreta geométricamente la derivada de una función en el cálculo de la longitud de una curva?
5. ¿Cómo se pueden aproximar longitudes de arco para funciones más complicadas?

**Tip:** Para algunas integrales que no se pueden resolver analíticamente, los métodos numéricos como la regla del trapecio o la cuadratura gaussiana son muy útiles.

Learn how to find the length of the curve defined by the function y = ∛(x^2) from x = 1 to x = 8 using integral calculus. Follow a step-by-step solution involving differentiation, integration, and numerical evaluation.

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