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Vamos a analizar las preguntas y los modelos que se presentan en la imagen para obtener las respuestas correspondientes:

### Modelos de las plantas
Las funciones que modelan la altura de las plantas en centímetros son:

1. \( P_2(z) = \frac{76,9}{1 + 8,4e^{-0,32z}} \)
2. \( P_3(z) = -102 + 47,4\ln(z) \)

Donde \( z \) representa el tiempo en meses.

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### Pregunta (e): **¿Cuál es la altura aproximada de cada planta a los 25 meses?**

Para calcular la altura de las plantas a los 25 meses, debemos sustituir \( z = 25 \) en ambas funciones.

1. **Para \( P_2(25) \):**
   \[
   P_2(25) = \frac{76,9}{1 + 8,4e^{-0,32 \times 25}}
   \]

2. **Para \( P_3(25) \):**
   \[
   P_3(25) = -102 + 47,4\ln(25)
   \]

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### Pregunta (f): **¿Existe aproximadamente algún mes en el que ambas plantas tengan la misma altura? ¿A qué altura corresponde?**

Aquí se debe igualar \( P_2(z) = P_3(z) \) y resolver para \( z \), lo cual implica encontrar el mes en que las dos plantas alcanzan la misma altura.

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### Pregunta (g): **Considerando que ambas plantas viven aproximadamente 4 años, ¿cuál de las dos plantas alcanza mayor altura al cumplir su ciclo de vida? ¿A qué altura corresponde?**

Aquí se toma \( z = 48 \) meses (4 años) y se calcula la altura de ambas plantas utilizando las funciones dadas para \( P_2(z) \) y \( P_3(z) \).

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### Pregunta (h): **¿Cuál es la diferencia de altura entre las plantas a los 40 meses?**

Esto implica calcular la altura de las plantas en \( z = 40 \) meses y restar una de la otra:

1. **Para \( P_2(40) \):**
   \[
   P_2(40) = \frac{76,9}{1 + 8,4e^{-0,32 \times 40}}
   \]

2. **Para \( P_3(40) \):**
   \[
   P_3(40) = -102 + 47,4\ln(40)
   \]

Luego se calcula la diferencia entre ambas alturas.

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Voy a calcular cada uno de estos valores.Aquí tienes los resultados:

### Pregunta (e): **¿Cuál es la altura aproximada de cada planta a los 25 meses?**
- La altura aproximada de la planta \( P_2 \) a los 25 meses es **76.68 cm**.
- La altura aproximada de la planta \( P_3 \) a los 25 meses es **50.57 cm**.

### Pregunta (f): **¿Existe aproximadamente algún mes en el que ambas plantas tengan la misma altura? ¿A qué altura corresponde?**
Para obtener esto, necesitaríamos resolver \( P_2(z) = P_3(z) \), lo cual implica una solución numérica que aún no hemos realizado.

### Pregunta (g): **¿Cuál de las dos plantas alcanza mayor altura al cumplir 4 años (48 meses)?**
- La planta \( P_3 \) alcanza mayor altura, con **81.49 cm**, frente a los **76.90 cm** de la planta \( P_2 \).

### Pregunta (h): **¿Cuál es la diferencia de altura entre las plantas a los 40 meses?**
- La diferencia de altura entre las plantas a los 40 meses es de **4.05 cm**, siendo la planta \( P_2 \) más alta.

¿Te gustaría que calculemos la pregunta (f) para saber cuándo las dos plantas tienen la misma altura o tienes alguna otra duda?

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Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué sucede con las alturas después de los 50 meses?
2. ¿Cómo afecta el término logarítmico en el crecimiento de la planta \( P_3 \)?
3. ¿Podría alguna planta superar los 100 cm a largo plazo?
4. ¿Cómo varían las tasas de crecimiento entre las dos plantas en el tiempo?
5. ¿Es el crecimiento de la planta \( P_2 \) asintótico?

**Tip:** En problemas con logaritmos y exponentes, es importante observar el comportamiento a largo plazo, ya que estas funciones suelen estabilizarse o aumentar lentamente.

¿Cuántos meses deben transcurrir para que la planta alcance 40 centímetros?

Analyze and solve growth problems involving two plant models: one exponential and one logarithmic. This exercise involves calculating the time for plants to reach a given height, finding when two plants have the same height, and determining growth at specific intervals.

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