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En la imagen se observan funciones que representan el crecimiento en altura de dos plantas \( P_1(t) \) y \( P_5(t) \) con respecto al tiempo en meses \( t \). Las ecuaciones son las siguientes:

- \( P_1(t) = \frac{72.8}{1 + 7 e^{-0.332t}} \)
- \( P_5(t) = -103.3 + 46.2 \ln(t+2) \)

Voy a analizar las preguntas presentadas y darte una guía para resolverlas:

1. **¿Cuál es la altura aproximada de cada planta a los 13 meses?**
   - Para \( P_1(t) \), sustituye \( t = 13 \) en la ecuación de \( P_1(t) \).
   - Para \( P_5(t) \), sustituye \( t = 13 \) en la ecuación de \( P_5(t) \).

2. **¿Existe algún mes en el que ambas plantas tengan la misma altura?**
   - Igualas \( P_1(t) = P_5(t) \) y resuelves para \( t \), esto puede implicar hacer un cálculo numérico o gráfico, ya que las funciones son complejas.

3. **Conociendo que ambas plantas viven aproximadamente 2 años (24 meses), ¿cuál de las plantas tiene mayor altura al cumplir su ciclo de vida?**
   - Sustituye \( t = 24 \) en ambas ecuaciones para comparar las alturas de las plantas a los 24 meses.

4. **¿Cuál es la diferencia de altura entre las plantas a los 32 meses?**
   - Sustituye \( t = 32 \) en ambas ecuaciones y resta sus valores para encontrar la diferencia de alturas.

¿Te gustaría que resuelva alguna en particular o que te guíe paso a paso en alguna? 

Aquí tienes algunas preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Qué significa la tasa de crecimiento en cada función?
2. ¿Cómo se comportan las gráficas de las funciones con el tiempo?
3. ¿Qué tipo de función es \( P_1(t) \) y cómo afecta la constante \( e^{-0.332t} \)?
4. ¿Cómo interpretarías el uso del logaritmo natural en la función \( P_5(t) \)?
5. ¿Qué sucedería con las alturas de las plantas después de 32 meses?

**Tip:** Al comparar dos funciones, es muy útil graficarlas para visualizar los puntos de intersección y las diferencias a lo largo del tiempo.

¿Cuál es la altura aproximada de cada planta a los 13 meses? ¿Existe algún mes en el que ambas plantas tengan la misma altura? Conociendo que ambas plantas viven aproximadamente 2 años, ¿cuál de las plantas tiene mayor altura al cumplir su ciclo de vida? ¿Cuál es la diferencia de altura entre las plantas a los 32 meses?

Explore the comparison of plant growth models using exponential and logarithmic functions. Understand the growth of two plants over time, calculate their heights at different time points, find when they have the same height, and determine which plant reaches a greater height at the end of its lifecycle. Suitable for students in Grades 10-12.

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