Dada las circunferencias  x²+y²-10x+14y+49. ;   x²+y² -10x+ 14y +49 =0 encula ecuación de la recta que une sus centros 

Parece que hay un error en la redacción de tu pregunta. Las dos expresiones dadas son prácticamente idénticas, y las circunferencias deberían tener términos diferentes para tener centros distintos. Sin embargo, interpretaré lo que has escrito y te ayudaré a encontrar la ecuación de la recta que une los centros de dos circunferencias.

Voy a suponer que querías comparar las siguientes dos circunferencias:

1. \[ x^2 + y^2 - 10x + 14y + 49 = 0 \]
2. \[ x^2 + y^2 - 10x + 14y + c = 0 \]

Donde **c** es un número que debe ser diferente de 49 para que las circunferencias sean distintas.

### Paso 1: Determinar los centros de las circunferencias

La ecuación general de una circunferencia es:

\[
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
\]

El centro de la circunferencia es \(\left( -\frac{D}{2}, -\frac{E}{2} \right)\).

Para la primera circunferencia:

- \( D = -10 \)  ⇒  \(\frac{-(-10)}{2} = 5 \)
- \( E = 14 \)   ⇒  \(\frac{-(14)}{2} = -7 \)

Entonces, el centro de la primera circunferencia es \( C_1(5, -7) \).

Para la segunda circunferencia, dado que los términos \( D \) y \( E \) son los mismos, el centro también será \( C_2(5, -7) \).

### Paso 2: Ecuación de la recta que une los centros

Dado que los dos centros son idénticos, la "recta" que los une sería un punto. 

**Sin embargo**, si las circunferencias fueran distintas y tuvieran diferentes centros, la recta que los une tendría la forma:

\[
\text{Recta: } y - y_1 = m(x - x_1)
\]

Donde \( m \) es la pendiente, y \( (x_1, y_1) \) y \( (x_2, y_2) \) son las coordenadas de los centros de las circunferencias.

Dado que en este caso ambos centros son idénticos, no se puede definir una recta entre ellos.

Si esto no responde a lo que buscabas, podrías revisar los términos de las circunferencias para asegurar que sean diferentes.

---

¿Te gustaría que revisemos algún caso con circunferencias distintas o alguna otra pregunta?

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**Tip:** Cuando se trabaja con ecuaciones de circunferencias, es útil identificar primero los valores de los coeficientes para determinar el centro y el radio rápidamente.

Understand how to find the equation of the line connecting the centers of circles given by x^2 + y^2 - 10x + 14y + 49 = 0. Learn about circle equations, center determination, and the application of the distance formula in this mathematical problem. Suitable for advanced high school students (Grades 10-12).

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