Dada las circunferencias  x²+y²+6x-4y-51 ;   x²+y² -10x+ 14y +49 =0 encula ecuación de la recta que une sus centros 

¡Gracias por la corrección! Ahora trabajaremos con las circunferencias dadas para encontrar la ecuación de la recta que une sus centros.

Las circunferencias son:

1. \( x^2 + y^2 + 6x - 4y - 51 = 0 \)
2. \( x^2 + y^2 - 10x + 14y + 49 = 0 \)

### Paso 1: Determinar los centros de las circunferencias

La ecuación general de una circunferencia es:

\[
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
\]

El centro de la circunferencia se encuentra en el punto \( \left( -\frac{D}{2}, -\frac{E}{2} \right) \).

#### Centro de la primera circunferencia:

Para \( x^2 + y^2 + 6x - 4y - 51 = 0 \):

- \( D = 6 \)  ⇒  \( \frac{-6}{2} = -3 \)
- \( E = -4 \)  ⇒  \( \frac{-(-4)}{2} = 2 \)

Entonces, el centro de la primera circunferencia es \( C_1(-3, 2) \).

#### Centro de la segunda circunferencia:

Para \( x^2 + y^2 - 10x + 14y + 49 = 0 \):

- \( D = -10 \)  ⇒  \( \frac{-(-10)}{2} = 5 \)
- \( E = 14 \)  ⇒  \( \frac{-(14)}{2} = -7 \)

Entonces, el centro de la segunda circunferencia es \( C_2(5, -7) \).

### Paso 2: Ecuación de la recta que une los centros

Para encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( C_1(-3, 2) \) y \( C_2(5, -7) \), utilizamos la fórmula de la pendiente \( m \) y la ecuación punto-pendiente:

#### 1. Calcular la pendiente \( m \):

\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-7 - 2}{5 - (-3)} = \frac{-9}{8}
\]

#### 2. Usar la ecuación punto-pendiente:

La ecuación de la recta es:

\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]

Usando el punto \( C_1(-3, 2) \) y la pendiente \( m = -\frac{9}{8} \):

\[
y - 2 = -\frac{9}{8}(x + 3)
\]

Multiplicando para deshacernos del denominador:

\[
8(y - 2) = -9(x + 3)
\]

Expandiendo y simplificando:

\[
8y - 16 = -9x - 27
\]

\[
9x + 8y = -11
\]

### Ecuación de la recta:

\[
9x + 8y = -11
\]

Esta es la ecuación de la recta que une los centros de las dos circunferencias.

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¿Te gustaría alguna explicación adicional o ayuda con otro tema?

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**Tip:** Cuando trabajes con ecuaciones de circunferencias y rectas, siempre verifica la pendiente y el signo de los coeficientes para asegurarte de que los cálculos sean correctos.

Learn how to find the equation of a line connecting the centers of two circles given their equations. This problem involves geometric concepts, including circles, lines, and coordinate geometry. Suitable for high school students.

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