encuentra la ecuacion de la recta de la  circunferencia es tangente a la ecta x+2y-10=0 en el punto-4,7 y su centro esta sobre la recta 2x-y+15=0

Para encontrar la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta \(x + 2y - 10 = 0\) en el punto \((-4, 7)\) y cuyo centro está sobre la recta \(2x - y + 15 = 0\), seguimos estos pasos:

### 1. Ecuación general de la circunferencia
La ecuación general de una circunferencia es:

\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]

donde \((h, k)\) es el centro y \(r\) es el radio de la circunferencia.

### 2. Condiciones dadas
- La circunferencia es tangente a la recta \(x + 2y - 10 = 0\) en el punto \((-4, 7)\).
- El centro \((h, k)\) está en la recta \(2x - y + 15 = 0\), es decir, cumple la condición \(2h - k + 15 = 0\).

### 3. Distancia del centro de la circunferencia a la recta
La distancia de un punto \((h, k)\) a una recta de la forma \(Ax + By + C = 0\) se calcula como:

\[
d = \frac{|Ah + Bk + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

La distancia del centro de la circunferencia a la recta debe ser igual al radio \(r\) de la circunferencia. Por lo tanto:

\[
r = \frac{|h + 2k - 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|h + 2k - 10|}{\sqrt{5}}
\]

### 4. Sustitución del punto de tangencia
El punto de tangencia \((-4, 7)\) también debe satisfacer la ecuación de la circunferencia, así que:

\[
(-4 - h)^2 + (7 - k)^2 = r^2
\]

### 5. Sustitución de las condiciones y resolución
Dado que el centro está sobre la recta \(2h - k + 15 = 0\), tenemos:

\[
k = 2h + 15
\]

Ahora sustituimos \(k = 2h + 15\) en la ecuación de la distancia \(r = \frac{|h + 2(2h + 15) - 10|}{\sqrt{5}}\):

\[
r = \frac{|h + 4h + 30 - 10|}{\sqrt{5}} = \frac{|5h + 20|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}(h + 4)
\]

### 6. Sustitución en la ecuación de la circunferencia
Sustituimos \(k = 2h + 15\) en la ecuación del radio:

\[
(-4 - h)^2 + (7 - (2h + 15))^2 = r^2
\]

Simplificando, tenemos:

\[
(-4 - h)^2 +

Learn how to find the equation of a circle that is tangent to the line x + 2y - 10 = 0 at the point (-4, 7) and has its center on the line 2x - y + 15 = 0. This problem involves advanced geometric concepts including circle geometry, line tangency, and distance formulas.

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