¿Cuántas fracciones irreductibles existen entre 1/5 y 1/3 tal que su numerador es 33?

Para resolver este problema, buscamos fracciones irreductibles de la forma \( \frac{33}{n} \) que se encuentren entre \( \frac{1}{5} \) y \( \frac{1}{3} \). Debemos hallar los valores de \( n \) tal que \( \frac{1}{5} < \frac{33}{n} < \frac{1}{3} \).

1. **Despejando para \( n \) en ambas desigualdades:**

   \[
   \frac{1}{5} < \frac{33}{n} \implies n < 165
   \]

   \[
   \frac{33}{n} < \frac{1}{3} \implies n > 99
   \]

   Así que \( n \) debe satisfacer \( 99 < n < 165 \).

2. **Condición de irreductibilidad:**
   La fracción \( \frac{33}{n} \) es irreductible si y solo si el máximo común divisor (MCD) de 33 y \( n \) es 1, es decir, \( \text{MCD}(33, n) = 1 \).

   Los divisores de 33 son 1, 3, 11 y 33. Para que \( \text{MCD}(33, n) = 1 \), \( n \) no debe ser divisible por ninguno de estos números.

3. **Valores posibles de \( n \):**
   Consideramos los números enteros entre 100 y 164, ya que \( n \) debe estar en ese rango y no ser divisible por 3, 11, o 33.

   El rango de \( n \) es \( n = 100, 101, 102, \ldots, 164 \), lo cual da 65 números posibles.

4. **Excluir los múltiplos de 3, 11 y 33:**

   - **Múltiplos de 3:** El primer múltiplo de 3 en el rango es 102 y el último es 162. Hay 21 múltiplos de 3 en el rango.
   - **Múltiplos de 11:** El primer múltiplo de 11 en el rango es 110 y el último es 154. Hay 5 múltiplos de 11 en el rango.
   - **Múltiplos de 33:** El primer múltiplo de 33 en el rango es 132 y el último es 132. Hay 1 múltiplo de 33 en el rango.

   **Múltiplos comunes:**
   - **Múltiplos de 3 y 11 (o 33):** Considerando que 33 es un múltiplo común, ya está cubierto.
   - **Múltiplos de 3 y 11:** El único múltiplo común en el rango es 132.
   - **Múltiplos de 33:** No hay que considerar múltiplos adicionales ya que 132 es el único múltiplo de 33 en el rango.

   Usamos el principio de inclusión-exclusión para encontrar el total de números excluidos:

   - Múltiplos de 3: 21
   - Múltiplos de 11: 5
   - Múltiplos de 33 (ya considerado en los anteriores): 1

   \[
   21 + 5 - 1 = 25 \text{ (números excluidos)}
   \]

   **Números no excluidos (irreductibles):**
   - \( 65 - 25 = 40 \).

Por lo tanto, **hay 40 fracciones irreductibles** entre \( \frac{1}{5} \) y \( \frac{1}{3} \) con numerador igual a 33.

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

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1. ¿Qué es el principio de inclusión-exclusión?
2. ¿Cómo se determina si una fracción es irreductible?
3. ¿Por qué se excluyen múltiplos de 3, 11 y 33?
4. ¿Qué métodos se pueden usar para encontrar el MCD de dos números?
5. ¿Cómo afecta el numerador al cálculo de fracciones irreductibles?

**Tip:** El principio de inclusión-exclusión es una herramienta útil para contar elementos en conjuntos con intersecciones, evitando contar múltiples veces los elementos comunes.

Explore the problem of finding irreducible fractions with numerator 33 between \( \frac{1}{5} \) and \( \frac{1}{3} \). Learn about the Principle of Inclusion-Exclusion and methods to determine irreducibility in fractions. Suitable for students in Grades 6-8.

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