¿Cuántas fracciones irreductibles existen entre  1/5 y 1/3 tal que su numerador es 33?

Vamos a resolver este problema paso a paso, buscando cuántas fracciones irreductibles de la forma \( \frac{33}{n} \) existen entre \( \frac{1}{5} \) y \( \frac{1}{3} \).

### 1. Determinación del rango de \( n \)

Queremos encontrar los valores de \( n \) para los cuales:

\[
\frac{1}{5} < \frac{33}{n} < \frac{1}{3}
\]

1.1 **Resolvamos la primera desigualdad** \( \frac{1}{5} < \frac{33}{n} \):

\[
\frac{1}{5} < \frac{33}{n} \implies n < 165
\]

1.2 **Resolvamos la segunda desigualdad** \( \frac{33}{n} < \frac{1}{3} \):

\[
\frac{33}{n} < \frac{1}{3} \implies n > 99
\]

Por lo tanto, \( n \) debe estar en el rango \( 100 \leq n \leq 164 \).

### 2. Condición de irreductibilidad

Para que la fracción \( \frac{33}{n} \) sea irreductible, es necesario que el máximo común divisor (MCD) de 33 y \( n \) sea 1, es decir, \( \text{MCD}(33, n) = 1 \).

Los divisores de 33 son 1, 3, 11, y 33. Para que \( \text{MCD}(33, n) = 1 \), \( n \) no debe ser divisible por 3, 11, o 33.

### 3. Contar los valores posibles de \( n \)

El rango de \( n \) es de 65 números posibles: \( n = 100, 101, \ldots, 164 \).

3.1 **Exclusión de múltiplos de 3**: 

- Los múltiplos de 3 en el rango de 100 a 164 son: 102, 105, 108, ..., 162. 
- Estos son 21 múltiplos de 3.

3.2 **Exclusión de múltiplos de 11**:

- Los múltiplos de 11 en el rango de 100 a 164 son: 110, 121, 132, 143, 154.
- Estos son 6 múltiplos de 11.

3.3 **Exclusión de múltiplos de 33**:

- Solo hay un múltiplo de 33 en el rango: 132.

3.4 **Incluir la intersección (múltiplos comunes):**

- El único múltiplo común entre 3 y 11 en el rango es 132, ya considerado como múltiplo de 33.

### 4. Aplicación del principio de inclusión-exclusión

Para evitar contar dos veces los números que son múltiplos comunes:

- Múltiplos de 3: 21 números
- Múltiplos de 11: 6 números
- Múltiplos de 33: 1 número
- Intersección de múltiplos de 3 y 11 (ya incluido): 1 número (132)

Entonces, los números excluidos son:

\[
21 + 6 - 1 = 26
\]

### 5. Resultados finales

- **Total de números en el rango:** 65
- **Números excluidos:** 26
- **Números restantes:** \( 65 - 26 = 39 \)

**Respuesta:** Existen 39 fracciones irreductibles entre \( \frac{1}{5} \) y \( \frac{1}{3} \) con numerador igual a 33.

¿Tienes alguna pregunta o deseas más detalles?

---

1. ¿Cómo se determina si dos números son coprimos?
2. ¿Qué es una fracción irreductible?
3. ¿Cómo funciona el principio de inclusión-exclusión en otros contextos?
4. ¿Por qué no hay otros múltiplos comunes en este caso?
5. ¿Qué sucede si cambiamos el numerador a otro número?

**Tip:** Para asegurarte de que una fracción es irreductible, verifica que el MCD entre el numerador y el denominador sea 1.

Explore how to find irreducible fractions of the form 33/n between 1/5 and 1/3. Includes step-by-step analysis using the inclusion-exclusion principle and criteria for irreducible fractions. Suitable for high school students.

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