Plantee y resuelva la siguiente situación:
En el último día del proceso de matrícula en el centro preuniversitario de la Universidad de Lima, se matricularon 80 postulantes. En los cuatro días anteriores, se observó que el número de matriculados, cada día, fue inversamente proporcional al número de días que faltaban para que se termine dicho proceso. Si en estos últimos cinco días hubo en total 305 matriculados, calcule la cantidad de matriculados en el antepenúltimo día.


Vamos a plantear y resolver la situación descrita. 

### Planteamiento del problema:
Sabemos que en el último día del proceso de matrícula se matricularon 80 postulantes. En los cuatro días anteriores, el número de matriculados cada día fue inversamente proporcional al número de días que faltaban para que se termine el proceso.

Denotemos:
- \( x_1 \) como el número de matriculados el primer día,
- \( x_2 \) como el número de matriculados el segundo día,
- \( x_3 \) como el número de matriculados el tercer día,
- \( x_4 \) como el número de matriculados el cuarto día.

Además, se sabe que el número de matriculados en cada uno de esos días es inversamente proporcional al número de días que faltaban para terminar el proceso. Esto significa que:
- \( x_1 \) es inversamente proporcional a 4 (ya que faltaban 4 días),
- \( x_2 \) es inversamente proporcional a 3,
- \( x_3 \) es inversamente proporcional a 2,
- \( x_4 \) es inversamente proporcional a 1.

Podemos expresar esto como:
\[
x_1 = \frac{k}{4}, \quad x_2 = \frac{k}{3}, \quad x_3 = \frac{k}{2}, \quad x_4 = k
\]
donde \( k \) es una constante de proporcionalidad.

El total de matriculados en esos cinco días es 305, por lo tanto:
\[
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + 80 = 305
\]
Sustituyendo las expresiones para \( x_1, x_2, x_3, \) y \( x_4 \):
\[
\frac{k}{4} + \frac{k}{3} + \frac{k}{2} + k + 80 = 305
\]

### Resolución:
Primero, restamos 80 de ambos lados de la ecuación:
\[
\frac{k}{4} + \frac{k}{3} + \frac{k}{2} + k = 225
\]
Para simplificar esta suma de fracciones, llevamos a un común denominador:
\[
\frac{k}{4} + \frac{k}{3} + \frac{k}{2} + \frac{4k}{4} = \frac{3k}{12} + \frac{4k}{12} + \frac{6k}{12} + \frac{12k}{12} = \frac{25k}{12}
\]
Esto se iguala a 225:
\[
\frac{25k}{12} = 225
\]
Multiplicamos ambos lados por 12 para despejar \( k \):
\[
25k = 225 \times 12
\]
\[
25k = 2700
\]
\[
k = \frac{2700}{25} = 108
\]

### Cantidad de matriculados en el antepenúltimo día:
El antepenúltimo día es el tercer día, para el cual hemos calculado:
\[
x_3 = \frac{k}{2} = \frac{108}{2} = 54
\]

Por lo tanto, **en el antepenúltimo día se matricularon 54 postulantes**.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

---

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo se determinó la constante de proporcionalidad \( k \) en este problema?
2. ¿Qué significaría si el número total de matriculados fuera diferente de 305?
3. ¿Cómo cambiaría la solución si el número de días fuera diferente?
4. ¿Cómo se resuelven ecuaciones con fracciones cuando los denominadores son distintos?
5. ¿Qué otros problemas se pueden resolver con proporciones inversas?

**Tip:** Cuando te enfrentes a problemas de proporcionalidad inversa, es útil recordar que el producto de las variables involucradas se mantiene constante.

Plantee y resuelva la siguiente situación: En el último día del proceso de matrícula en el centro preuniversitario de la Universidad de Lima, se matricularon 80 postulantes. En los cuatro días anteriores, se observó que el número de matriculados, cada día, fue inversamente proporcional al número de días que faltaban para que se termine dicho proceso. Si en estos últimos cinco días hubo en total 305 matriculados, calcule la cantidad de matriculados en el antepenúltimo día.

Discover how to solve a problem involving inverse proportionality in the enrollment process at the University of Lima. Learn step-by-step how to calculate the number of students enrolled on the third day when given the total number of enrollments over five days. Perfect for high school students in Grades 10-12.

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