Elegí la opción que muestra los intervalos crecimiento de la función f(x)=x^3-3x^2+2

Para encontrar los intervalos de crecimiento de la función \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \), necesitamos seguir estos pasos:

1. **Derivada de la función**: Calcula la primera derivada de \( f(x) \).
   \[
   f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 6x
   \]
   La derivada es \( f'(x) = 3x^2 - 6x \).

2. **Factorización de la derivada**: Simplifica la derivada.
   \[
   f'(x) = 3x(x - 2)
   \]

3. **Puntos críticos**: Encuentra los valores de \( x \) donde la derivada es cero.
   \[
   3x(x - 2) = 0
   \]
   Esto nos da los puntos críticos \( x = 0 \) y \( x = 2 \).

4. **Signo de la derivada**: Determina el signo de la derivada en los intervalos definidos por los puntos críticos.
   - Para \( x < 0 \), selecciona un valor como \( x = -1 \):
     \[
     f'(-1) = 3(-1)((-1) - 2) = 3(-1)(-3) = 9 > 0
     \]
     La función es creciente en \( (-\infty, 0) \).
   - Para \( 0 < x < 2 \), selecciona un valor como \( x = 1 \):
     \[
     f'(1) = 3(1)(1 - 2) = 3(1)(-1) = -3 < 0
     \]
     La función es decreciente en \( (0, 2) \).
   - Para \( x > 2 \), selecciona un valor como \( x = 3 \):
     \[
     f'(3) = 3(3)(3 - 2) = 3(3)(1) = 9 > 0
     \]
     La función es creciente en \( (2, \infty) \).

### Resumen
La función \( f(x) \) es creciente en los intervalos \( (-\infty, 0) \) y \( (2, \infty) \).

---

¿Te gustaría más detalles sobre cómo analizar la concavidad o los puntos de inflexión? 

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se encuentran los máximos y mínimos de una función?
2. ¿Qué indican los puntos críticos sobre la gráfica de una función?
3. ¿Cómo se determina la concavidad de una función?
4. ¿Qué es un punto de inflexión y cómo se calcula?
5. ¿Cómo influye el término cúbico en la forma de la gráfica?

**Tip**: Recuerda que los intervalos de crecimiento de una función indican dónde la función aumenta al moverse hacia la derecha a lo largo del eje \( x \).

Discover how to find the intervals where the function f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 is increasing with a step-by-step solution. This problem covers derivatives, critical points, and the behavior of functions. Suitable for advanced high school students and beyond.

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