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Esta respuesta seria correcta a la pregunta de si existen valores de k para los cuales el producto de matrices sea conmutativa?

Para analizar si la respuesta en la imagen es correcta respecto a la pregunta sobre si existen valores de \( k \) para los cuales el producto de matrices es conmutativo (\( A \cdot B = B \cdot A \)), vamos a revisar el procedimiento mostrado en la imagen.

1. **Matriz \( A \) y \( B \)**:
   - Matriz \( A \) en la imagen es:  
     \[
     A = \begin{pmatrix}
     3 & 1 \\
     2 & 4
     \end{pmatrix}
     \]
   - Matriz \( B \) en la imagen es:  
     \[
     B = \begin{pmatrix}
     1 & k \\
     0 & 2
     \end{pmatrix}
     \]

2. **Producto \( A \cdot B \)**:
   - \( A \cdot B = \begin{pmatrix}
   3 & 1 \\
   2 & 4
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   1 & k \\
   0 & 2
   \end{pmatrix}
   = \begin{pmatrix}
   3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 3 \cdot k + 1 \cdot 2 \\
   2 \cdot 1 + 4 \cdot 0 & 2 \cdot k + 4 \cdot 2
   \end{pmatrix}
   = \begin{pmatrix}
   3 & 3k + 2 \\
   2 & 2k + 8
   \end{pmatrix}
   \)

3. **Producto \( B \cdot A \)**:
   - \( B \cdot A = \begin{pmatrix}
   1 & k \\
   0 & 2
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   3 & 1 \\
   2 & 4
   \end{pmatrix}
   = \begin{pmatrix}
   1 \cdot 3 + k \cdot 2 & 1 \cdot 1 + k \cdot 4 \\
   0 \cdot 3 + 2 \cdot 2 & 0 \cdot 1 + 2 \cdot 4
   \end{pmatrix}
   = \begin{pmatrix}
   3 + 2k & 1 + 4k \\
   4 & 8
   \end{pmatrix}
   \)

4. **Comparación \( A \cdot B = B \cdot A \)**:
   - Igualando ambas matrices:
   \[
   \begin{pmatrix}
   3 & 3k + 2 \\
   2 & 2k + 8
   \end{pmatrix}
   = \begin{pmatrix}
   3 + 2k & 1 + 4k \\
   4 & 8
   \end{pmatrix}
   \]
   - Comparando los elementos correspondientes:
     - Primer elemento de la primera fila: \( 3 = 3 + 2k \) implica \( 2k = 0 \) y \( k = 0 \).
     - Segundo elemento de la primera fila: \( 3k + 2 = 1 + 4k \) implica \( k = -1 \).
     - Primer elemento de la segunda fila: \( 2 = 4 \), lo cual es falso.
     - Segundo elemento de la segunda fila: \( 2k + 8 = 8 \), siempre es verdadero.

5. **Conclusión**:
   La condición \( 2 = 4 \) es imposible, lo que indica que no existe ningún valor de \( k \) que satisfaga \( A \cdot B = B \cdot A \). La conclusión en la imagen que \( A \cdot B \neq B \cdot A \) es correcta.

Por lo tanto, la respuesta es correcta al afirmar que no existen valores de \( k \) para los cuales el producto de matrices sea conmutativo.

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso en particular?

**Preguntas Relacionadas**:
1. ¿Cómo se determina la no conmutatividad de matrices en general?
2. ¿Qué significan las condiciones de igualdad entre matrices?
3. ¿Cómo afecta el valor de \( k \) al producto de las matrices?
4. ¿Cuál es la interpretación geométrica de la no conmutatividad en el contexto de las matrices?
5. ¿Existen otros ejemplos donde el producto matricial no sea conmutativo?

**Tip**: Al trabajar con multiplicación de matrices, recuerda que el orden importa, lo que significa que en general \( A \cdot B \neq B \cdot A \).

Explore whether there exist values of k for which matrix multiplication is commutative using specific matrices A and B. This detailed analysis covers the matrix multiplication process, comparison of matrices, and conclusions drawn from the results. Suitable for advanced high school and college students.

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