Seja z=r²
 a equação de uma quádrica em coordenadas cilíndricas. Qual a interseção da quádrica com o plano xy
?

Dica: primeiro, determine a equação da quádrica em coordenadas cartesianas.

Questão 5Escolha uma opção:

a.
A cônica z=x²


b.
A cônica x²+y²=1


c.
O ponto P=(0,0)


d.
A cônica z=y²

Para resolver essa questão, vamos seguir o passo sugerido de determinar a equação da quádrica em coordenadas cartesianas.

A equação dada é \( z = r^2 \), onde \( r \) é a coordenada radial em coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, \( r \) é definido como:

\[
r = \sqrt{x^2 + y^2}
\]

Substituindo \( r \) na equação da quádrica, obtemos:

\[
z = (\sqrt{x^2 + y^2})^2
\]

Simplificando:

\[
z = x^2 + y^2
\]

Agora, para encontrar a interseção dessa quádrica com o plano \( xy \), devemos considerar que no plano \( xy \), \( z = 0 \). Substituímos \( z = 0 \) na equação da quádrica:

\[
0 = x^2 + y^2
\]

Essa equação só é satisfeita quando \( x = 0 \) e \( y = 0 \), ou seja, o único ponto de interseção é o ponto \( P = (0, 0) \).

Portanto, a resposta correta é:

**c. O ponto \( P = (0,0) \)**

---

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**Dica:** Em coordenadas cilíndricas, o ângulo \( \theta \) e a coordenada radial \( r \) são úteis para simplificar a análise de problemas com simetria axial.

Descubra como determinar a interseção de uma quádrica com o plano XY utilizando coordenadas cilíndricas. Este problema explora a equação da quádrica em coordenadas cilíndricas, simplificação para coordenadas cartesianas e a determinação do ponto de interseção. Adequado para estudantes de pós-graduação em matemática.

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