Considere uma quádrica de equação x²/16+z²/16−y²/9=1
. Marque a alternativa correta.

Questão 4Escolha uma opção:

a.
Esta quádrica corta o eixo y
.


b.
A curva formada na intersecção desta quádrica com o plano z=0
 é uma elipse.


c.
A curva formada na intersecção desta quádrica com o plano x=1
 é uma circunferência de raio r=9
.


d.
A curva formada na intersecção desta quádrica com o plano z=0
 é uma parábola.


e.
Esta quádrica corta o eixo z
 nos pontos P1=(0,0,4)
 e P2=(0,0,−4)
.

A equação dada da quádrica é:

\[
\frac{x^2}{16} + \frac{z^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1
\]

Essa equação é da forma geral de uma quádrica hiperbólica, conhecida como *hiperboloide de uma folha*.

Vamos analisar cada alternativa:

**a. Esta quádrica corta o eixo y.**

- Para verificar se a quádrica corta o eixo y, basta colocar \(x = 0\) e \(z = 0\) na equação:
  \[
  0 + 0 - \frac{y^2}{9} = 1 \quad \Rightarrow \quad -\frac{y^2}{9} = 1
  \]
  Isso resulta em uma equação impossível, pois \(y^2\) seria negativo, o que não é possível para números reais. Portanto, a quádrica **não corta o eixo y**.
  
  **Alternativa a: Falsa.**

**b. A curva formada na intersecção desta quádrica com o plano \(z = 0\) é uma elipse.**

- Substituímos \(z = 0\) na equação:
  \[
  \frac{x^2}{16} + 0 - \frac{y^2}{9} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1
  \]
  Essa é a equação de uma hipérbole, não de uma elipse.
  
  **Alternativa b: Falsa.**

**c. A curva formada na intersecção desta quádrica com o plano \(x = 1\) é uma circunferência de raio \(r = 9\).**

- Substituímos \(x = 1\) na equação:
  \[
  \frac{1^2}{16} + \frac{z^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{16} + \frac{z^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1
  \]
  Rearranjando, temos:
  \[
  \frac{z^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}
  \]
  Esta equação não corresponde à equação de uma circunferência. Portanto, a alternativa está incorreta.
  
  **Alternativa c: Falsa.**

**d. A curva formada na intersecção desta quádrica com o plano \(z = 0\) é uma parábola.**

- Já vimos na análise da alternativa b que a interseção no plano \(z = 0\) resulta em uma hipérbole, não em uma parábola.
  
  **Alternativa d: Falsa.**

**e. Esta quádrica corta o eixo z nos pontos \(P_1 = (0, 0, 4)\) e \(P_2 = (0, 0, -4)\).**

- Para verificar se a quádrica corta o eixo z, colocamos \(x = 0\) e \(y = 0\) na equação:
  \[
  0 + \frac{z^2}{16} - 0 = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{z^2}{16} = 1 \quad \Rightarrow \quad z^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad z = \pm 4
  \]
  Portanto, a quádrica corta o eixo z nos pontos \(P_1 = (0, 0, 4)\) e \(P_2 = (0, 0, -4)\).
  
  **Alternativa e: Verdadeira.**

**Resposta correta: e.**

---

Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida? Aqui estão algumas perguntas relacionadas para expandir o assunto:

1. O que diferencia um hiperboloide de uma folha de um de duas folhas?
2. Como se obtém a equação de uma elipse a partir de uma quádrica?
3. Qual é a equação padrão de uma hipérbole no plano?
4. Em que situações uma quádrica poderia cortar o eixo y?
5. Como identificar o tipo de quádrica dada a sua equação geral?

**Dica:** Ao analisar equações de superfícies quádricas, observe os sinais e coeficientes para identificar o tipo de superfície (esfera, elipsoide, paraboloide, etc.).

Explore a análise detalhada de uma quádrica específica: o hiperboloide de uma folha. Verifique as interseções desta quádrica com diferentes planos e identifique as características geométricas. Ideal para estudantes de ensino médio.

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