https://r2.erweima.ai/mathbot/image/17254759831193xyld1mk.pdf

A lista contém várias questões de Álgebra Linear, cada uma com seus próprios desafios. Vou te guiar pela resolução passo a passo de cada uma das questões. Vou começar pela questão 1, que pede para mostrar que determinados conjuntos em \( \mathbb{R}^4 \) são subespaços vetoriais. 

**Questão 1: Subespaços Vetoriais**

1(a) O conjunto \( W = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + y = 0 \text{ e } z - t = 0\} \).

Para provar que \( W \) é um subespaço vetorial de \( \mathbb{R}^4 \), precisamos verificar três propriedades:

- **Fechamento sob adição:** Se \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in W \), então \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W \).
- **Fechamento sob multiplicação escalar:** Se \( \mathbf{u} \in W \) e \( c \) é um escalar, então \( c\mathbf{u} \in W \).
- **Contém o vetor nulo:** \( \mathbf{0} \in W \).

Vamos verificar isso:

- **Vetor nulo:** Para \( x = y = z = t = 0 \), temos \( 0 + 0 = 0 \) e \( 0 - 0 = 0 \), então \( \mathbf{0} \in W \).
- **Fechamento sob adição:** Se \( \mathbf{u} = (x_1, y_1, z_1, t_1) \) e \( \mathbf{v} = (x_2, y_2, z_2, t_2) \) estão em \( W \), então \( x_1 + y_1 = 0 \) e \( z_1 - t_1 = 0 \), e \( x_2 + y_2 = 0 \) e \( z_2 - t_2 = 0 \). A soma \( \mathbf{u} + \mathbf{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2, t_1 + t_2) \) satisfaz:
  \[
  (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) = (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) = 0 + 0 = 0
  \]
  \[
  (z_1 + z_2) - (t_1 + t_2) = (z_1 - t_1) + (z_2 - t_2) = 0 + 0 = 0
  \]
  Logo, \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W \).
- **Fechamento sob multiplicação escalar:** Se \( \mathbf{u} = (x, y, z, t) \in W \) e \( c \) é um escalar, então \( c\mathbf{u} = (cx, cy, cz, ct) \). Como \( x + y = 0 \) e \( z - t = 0 \), temos:
  \[
  c(x + y) = c \cdot 0 = 0
  \]
  \[
  c(z - t) = c \cdot 0 = 0
  \]
  Logo, \( c\mathbf{u} \in W \).

Portanto, \( W \) é um subespaço vetorial.

1(b) Similarmente, podemos provar que o conjunto \( W = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid 2x + y - t = 0 \text{ e } z = 0\} \) também é um subespaço vetorial verificando as mesmas três propriedades (fechamento sob adição, multiplicação escalar e inclusão do vetor nulo).

Se precisar de ajuda para entender melhor ou quer que eu resolva mais alguma questão da lista, estou à disposição!

---

**Perguntas relacionadas:**
1. Como verificar se um conjunto é uma subespaço vetorial?
2. Quais são as propriedades fundamentais dos subespaços vetoriais?
3. Como determinar a base de um subespaço vetorial?
4. Qual a diferença entre espaço vetorial e subespaço vetorial?
5. Como aplicar transformações lineares em espaços vetoriais?

**Dica:** Para provar que um conjunto é um subespaço vetorial, a verificação da presença do vetor nulo é geralmente o passo mais simples e pode ser um bom ponto de partida.

Aprenda a resolver questões de Álgebra Linear envolvendo subespaços vetoriais e transformações lineares. Este guia cobre os conceitos fundamentais, fórmulas e teoremas essenciais, adequados para estudantes universitários.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation