Resolva a integral indefinida, Senx\Cos ao quadrado de x dx

Para resolver a integral indefinida \(\int \sin(x) \cos^2(x) \, dx\), podemos usar a seguinte abordagem:

### Passo 1: Use a identidade trigonométrica
Podemos reescrever \(\cos^2(x)\) utilizando a identidade trigonométrica:
\[
\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)
\]
Assim, a integral se torna:
\[
\int \sin(x) \cos^2(x) \, dx = \int \sin(x) (1 - \sin^2(x)) \, dx
\]
Expanda o integrando:
\[
\int \sin(x) \, dx - \int \sin(x) \sin^2(x) \, dx
\]

### Passo 2: Substituição
Para resolver a segunda integral, podemos usar a substituição \(u = \sin(x)\), então \(du = \cos(x) \, dx\). No entanto, neste caso, precisamos reescrever a integral de maneira que possamos aplicar a substituição diretamente.

A integral pode ser separada em duas partes:

1. Para a primeira integral:
\[
\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C_1
\]
2. Para a segunda integral:
\[
-\int \sin(x) \sin^2(x) \, dx = -\int u^2 du = -\frac{u^3}{3} + C_2
\]

Substituindo \(u = \sin(x)\) de volta, temos:
\[
-\frac{\sin^3(x)}{3} + C_2
\]

### Passo 3: Combine as integrais
Finalmente, somamos as duas integrais:
\[
\int \sin(x) \cos^2(x) \, dx = -\cos(x) - \frac{\sin^3(x)}{3} + C
\]
Onde \(C = C_1 + C_2\) é a constante de integração.

---

**Resposta final**:
\[
\int \sin(x) \cos^2(x) \, dx = -\cos(x) - \frac{\sin^3(x)}{3} + C
\]

Quer mais detalhes ou tem alguma pergunta?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas para você explorar:

1. Como se usa a substituição \(u\)-substituição em integrais mais complexas?
2. Qual é a identidade trigonométrica que relaciona \(\cos^2(x)\) e \(\sin^2(x)\)?
3. Como integrar funções trigonométricas compostas?
4. Como resolver integrais indefinidas que contêm produtos de funções trigonométricas?
5. Qual é a importância de adicionar a constante de integração \(C\) na solução de integrais indefinidas?

**Dica**: Lembre-se de que as identidades trigonométricas são ferramentas poderosas para simplificar integrais complexas.

Learn how to solve the indefinite integral of sin(x) * cos^2(x) step-by-step. This problem involves using trigonometric identities and substitution method. Suitable for advanced high school students and above.

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