Integral de Sen a la 2 (x) Cos a la 3 (x)

Para resolver la integral de \(\sin^2(x) \cos^3(x)\), podemos utilizar identidades trigonométricas y un cambio de variable para simplificar el proceso.

### Paso 1: Factorizar la integral
La integral es:
\[
\int \sin^2(x) \cos^3(x) \, dx
\]

Primero, separamos un factor de \(\cos(x)\) para hacer más fácil el cambio de variable:
\[
\int \sin^2(x) \cos^2(x) \cos(x) \, dx
\]

### Paso 2: Usar identidades trigonométricas
Sabemos que \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\), entonces sustituimos:
\[
\int \sin^2(x) (1 - \sin^2(x)) \cos(x) \, dx
\]

### Paso 3: Sustitución
Hacemos el cambio de variable \(u = \sin(x)\), lo que implica que \(du = \cos(x) \, dx\). La integral se convierte en:
\[
\int u^2 (1 - u^2) \, du
\]

### Paso 4: Expandir y resolver
Expandimos el integrando:
\[
\int (u^2 - u^4) \, du
\]

Ahora integramos cada término:
\[
\frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} + C
\]

### Paso 5: Volver a la variable original
Sustituimos \(u = \sin(x)\) para regresar a la variable original:
\[
\frac{\sin^3(x)}{3} - \frac{\sin^5(x)}{5} + C
\]

Este es el resultado final de la integral:
\[
\int \sin^2(x) \cos^3(x) \, dx = \frac{\sin^3(x)}{3} - \frac{\sin^5(x)}{5} + C
\]

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se pueden resolver integrales de potencias de senos y cosenos?
2. ¿Qué otras sustituciones son útiles para integrar funciones trigonométricas?
3. ¿Qué método se puede usar si la integral tiene productos de otras funciones trigonométricas?
4. ¿Cómo se deriva la identidad \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\)?
5. ¿Qué pasa si la integral involucra \(\sin^3(x)\) en lugar de \(\sin^2(x)\)?

**Tip:** En integrales de potencias de senos y cosenos, las sustituciones trigonométricas son muy útiles para simplificar los términos.

Learn how to solve the integral of sin^2(x) cos^3(x) using trigonometric identities and u-substitution. This step-by-step solution simplifies the integration process with key formulas such as cos^2(x) = 1 - sin^2(x) and substitution techniques. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation