As funçöes trigonométricas são de extrema importância, e graças a elas, săo possiveis as resoluções de algumas integrais. A resoluçăo da integral ∫ sen3(x)cos2(x)dx é:

Para resolver a integral \(\int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx\), podemos usar a técnica de substituição junto com identidades trigonométricas.

Vamos usar a substituição \( u = \sin(x) \). Então, \( du = \cos(x) \, dx \).

Primeiro, reescrevemos a integral em termos de \( u \):

\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx \]

Usamos a identidade \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\):

\[ \int \sin^3(x) (1 - \sin^2(x)) \cos(x) \, dx \]

Substituindo \( u = \sin(x) \) e \( du = \cos(x) \, dx \):

\[ \int u^3 (1 - u^2) \, du \]

Expandimos a expressão dentro da integral:

\[ \int (u^3 - u^5) \, du \]

Agora integramos termo a termo:

\[ \int u^3 \, du - \int u^5 \, du \]

Calculamos cada integral separadamente:

\[ \int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} \]
\[ \int u^5 \, du = \frac{u^6}{6} \]

Portanto, temos:

\[ \frac{u^4}{4} - \frac{u^6}{6} + C \]

Substituindo \( u = \sin(x) \) de volta na expressão:

\[ \frac{\sin^4(x)}{4} - \frac{\sin^6(x)}{6} + C \]

Assim, a solução da integral \(\int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx\) é:

\[ \frac{\sin^4(x)}{4} - \frac{\sin^6(x)}{6} + C \]

Posso ajudar com mais algum detalhe ou você tem alguma dúvida?

Aqui estão 5 perguntas que você pode querer fazer:
1. Como se resolve integrais usando partes?
2. Quais são as identidades trigonométricas mais comuns?
3. Como resolver integrais definidas?
4. O que é a substituição trigonométrica?
5. Pode explicar a técnica de integração por frações parciais?

**Dica:** Ao resolver integrais envolvendo funções trigonométricas, usar substituições adequadas e identidades trigonométricas pode simplificar muito o problema.

Learn how to solve the integral ∫ sin^3(x) cos^2(x) dx using substitution and trigonometric identities. This problem involves advanced techniques in calculus and trigonometry. Suitable for advanced high school students and beyond.

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