Para resolver la integral \(\int (\tan(2x) + \sec(2x))^2 \, dx\), primero expandiremos el integrando.

### Paso 1: Expandir el integrando

Expandamos \((\tan(2x) + \sec(2x))^2\):

\[
(\tan(2x) + \sec(2x))^2 = \tan^2(2x) + 2\tan(2x)\sec(2x) + \sec^2(2x)
\]

### Paso 2: Descomponer la integral

Ahora, separamos la integral en tres partes:

\[
\int (\tan^2(2x) + 2\tan(2x)\sec(2x) + \sec^2(2x)) \, dx = \int \tan^2(2x) \, dx + 2 \int \tan(2x)\sec(2x) \, dx + \int \sec^2(2x) \, dx
\]

### Paso 3: Resolver cada integral

1. **Integral de \(\sec^2(2x) \, dx\):**

\[
\int \sec^2(2x) \, dx = \frac{1}{2} \tan(2x) + C_1
\]

2. **Integral de \(2\tan(2x)\sec(2x) \, dx\):**

\[
\int \tan(2x)\sec(2x) \, dx = \frac{1}{2} \sec(2x) + C_2
\]
Por lo tanto, 

\[
2 \int \tan(2x)\sec(2x) \, dx = \sec(2x) + C_2
\]

3. **Integral de \(\tan^2(2x) \, dx\):**

Para resolver \(\int \tan^2(2x) \, dx\), usamos la identidad \(\tan^2(2x) = \sec^2(2x) - 1\):

\[
\int \tan^2(2x) \, dx = \int (\sec^2(2x) - 1) \, dx
\]

Descomponiendo:

\[
\int \tan^2(2x) \, dx = \int \sec^2(2x) \, dx - \int 1 \, dx
\]

Ya hemos resuelto \(\int \sec^2(2x) \, dx = \frac{1}{2} \tan(2x) + C_1\), entonces:

\[
\int \tan^2(2x) \, dx = \frac{1}{2} \tan(2x) - x + C_3
\]

### Paso 4: Combinar todas las partes

Ahora sumamos todas las partes:

\[
\int (\tan(2x) + \sec(2x))^2 \, dx = \left(\frac{1}{2} \tan(2x) - x\right) + \sec(2x) + \frac{1}{2} \tan(2x) + C
\]

Simplificando, obtenemos:

\[
\int (\tan(2x) + \sec(2x))^2 \, dx = \tan(2x) + \sec(2x) - x + C
\]

Donde \(C\) es la constante de integración final.

### Resumen de la solución

\[
\int (\tan(2x) + \sec(2x))^2 \, dx = \tan(2x) + \sec(2x) - x + C
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula la integral de \(\sec^2(x)\)?
2. ¿Qué otras identidades trigonométricas pueden ser útiles para integrar funciones trigonométricas?
3. ¿Cómo se puede usar la sustitución trigonométrica para resolver integrales?
4. ¿Cuál es la diferencia entre una integral indefinida y una definida?
5. ¿Cómo se simplifican las integrales que involucran productos de funciones trigonométricas?

**Tip:** Recordar las identidades trigonométricas básicas como \(\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1\) puede simplificar significativamente el proceso de integración.

Explore the step-by-step solution to integrate (tan(2x) + sec(2x))^2 dx using trigonometric identities and integration techniques. This problem involves advanced calculus concepts and is suitable for advanced high school or college students.

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