Para resolver la integral 

\[
\int (\tan(2x) + \sec(2x))^2 \, dx,
\]

vamos a expandir el cuadrado y simplificar antes de integrar.

### Paso 1: Expandir el cuadrado

Primero, expandimos \((\tan(2x) + \sec(2x))^2\) usando la fórmula \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\):

\[
(\tan(2x) + \sec(2x))^2 = \tan^2(2x) + 2\tan(2x)\sec(2x) + \sec^2(2x).
\]

### Paso 2: Descomponer la integral

La integral se convierte en:

\[
\int (\tan^2(2x) + 2\tan(2x)\sec(2x) + \sec^2(2x)) \, dx.
\]

Se puede descomponer en tres integrales separadas:

\[
\int \tan^2(2x) \, dx + 2 \int \tan(2x)\sec(2x) \, dx + \int \sec^2(2x) \, dx.
\]

### Paso 3: Resolver cada integral por separado

1. **Integral de \(\sec^2(2x)\):**

   \[
   \int \sec^2(2x) \, dx = \frac{1}{2} \tan(2x) + C_1.
   \]

2. **Integral de \(2 \tan(2x) \sec(2x)\):**

   Esta es una forma directa de la derivada de \(\sec(2x)\):

   \[
   2 \int \tan(2x) \sec(2x) \, dx = \sec(2x) + C_2.
   \]

3. **Integral de \(\tan^2(2x)\):**

   Utilizamos la identidad \(\tan^2(2x) = \sec^2(2x) - 1\):

   \[
   \int \tan^2(2x) \, dx = \int (\sec^2(2x) - 1) \, dx = \frac{1}{2} \tan(2x) - x + C_3.
   \]

### Paso 4: Combinar las soluciones

Sumamos todas las integrales resueltas:

\[
\int (\tan(2x) + \sec(2x))^2 \, dx = \frac{1}{2} \tan(2x) + \sec(2x) + \frac{1}{2} \tan(2x) - x + C.
\]

Simplificando, tenemos:

\[
\int (\tan(2x) + \sec(2x))^2 \, dx = \tan(2x) + \sec(2x) - x + C.
\]

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se derivan las funciones tangente y secante?
2. ¿Cómo se puede simplificar la integral usando identidades trigonométricas?
3. ¿Cuál es la importancia de las constantes de integración en una integral indefinida?
4. ¿Qué métodos alternativos se pueden usar para integrar funciones trigonométricas complejas?
5. ¿Cómo afecta un cambio de variable a una integral trigonométrica?

**Tip:** Siempre verifica si una identidad trigonométrica puede simplificar tu función antes de integrar.

Explore the integral of (tan(2x) + sec(2x))^2 dx with a detailed step-by-step solution. Learn how to expand and simplify the integral, apply trigonometric identities, and integrate each component. Suitable for undergraduate students studying integral calculus and trigonometric integrals.

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