Para resolver la integral de \(\cos^2(3x) \, dx\), utilizamos la identidad trigonométrica de reducción para \( \cos^2(\theta) \):

\[
\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}
\]

Aplicamos esta identidad en el integrando:

\[
\cos^2(3x) = \frac{1 + \cos(6x)}{2}
\]

Ahora, la integral se convierte en:

\[
\int \cos^2(3x) \, dx = \int \frac{1 + \cos(6x)}{2} \, dx
\]

Descomponemos la integral:

\[
\int \frac{1}{2} \, dx + \int \frac{\cos(6x)}{2} \, dx
\]

Resolvemos cada parte por separado:

1. \(\int \frac{1}{2} \, dx = \frac{x}{2}\)
2. Para \(\int \frac{\cos(6x)}{2} \, dx\), aplicamos el cambio de variable:

\[
\int \frac{\cos(6x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int \cos(6x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(6x)}{6} = \frac{\sin(6x)}{12}
\]

Finalmente, combinamos ambas partes:

\[
\int \cos^2(3x) \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(6x)}{12} + C
\]

Donde \(C\) es la constante de integración.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda?

### Preguntas Relativas:
1. ¿Cómo se aplica la identidad trigonométrica de reducción en integrales?
2. ¿Cómo resolver integrales con cambio de variable en funciones trigonométricas?
3. ¿Cuál es la fórmula de la integral de \( \sin(ax) \) y \( \cos(ax) \)?
4. ¿Cómo se integran otras funciones trigonométricas al cuadrado?
5. ¿Cómo se podría verificar el resultado de una integral indefinida?

**Tip:** Las identidades trigonométricas son herramientas poderosas para simplificar integrales complicadas. Asegúrate de memorizar las más comunes.

Solve the integral of cos^2(3x) using trigonometric identities and integration techniques. This problem breaks down the use of the cos^2(θ) reduction identity and variable substitution, providing a step-by-step guide for students at the undergraduate level.

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