Resuelve la siguiente integral indefinida:
∫ (𝑥
3 − 2𝑒
3𝑥 +
3
𝑥
+ 5) 𝑑𝑥
II. Resuelve la siguiente integral indefinida:
∫ 2𝑥√𝑥
2 − 1
3
𝑑𝑥
III. Resuelve la siguiente integral indefinida:
∫ 𝑥𝑒
2𝑥 𝑑𝑥
IV. La función que describe el costo marginal (en dólares) de la producción de un artículo es
8x+800, donde x indica el número de unidades producidas. Se sabe que el costo total es de
$ 80 000 cuando se fabrican 40 unidades.
Determina la función costo total.


Vamos a resolver las integrales y el problema del costo marginal paso a paso.

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### I. Resolver la integral indefinida:

\[
\int \left(x^3 - 2e^{3x} + \frac{3}{x} + 5\right) \, dx
\]

**Solución:**

1. La integral de $x^3$:
   \[
   \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}
   \]

2. La integral de $-2e^{3x}$:
   \[
   \int -2e^{3x} \, dx = -\frac{2}{3}e^{3x}
   \]

3. La integral de $\frac{3}{x}$:
   \[
   \int \frac{3}{x} \, dx = 3 \ln |x|
   \]

4. La integral de 5:
   \[
   \int 5 \, dx = 5x
   \]

**Resultado final**:

\[
\int \left(x^3 - 2e^{3x} + \frac{3}{x} + 5\right) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{2}{3}e^{3x} + 3 \ln |x| + 5x + C
\]

---

### II. Resolver la integral indefinida:

\[
\int 2x\sqrt{x^2 - 1} \, dx
\]

**Solución (sustitución):**

Sea $ u = x^2 - 1 $, por lo tanto $ du = 2x \, dx $.

Reemplazamos y la integral se transforma en:
\[
\int \sqrt{u} \, du = \frac{2}{3}u^{3/2} + C
\]

Volviendo a $u = x^2 - 1$, obtenemos el resultado final:
\[
\int 2x\sqrt{x^2 - 1} \, dx = \frac{2}{3}(x^2 - 1)^{3/2} + C
\]

---

### III. Resolver la integral indefinida:

\[
\int xe^{2x} \, dx
\]

**Solución (por partes):**

Usamos la integración por partes. Sea:

- $ u = x $, entonces $ du = dx $,
- $ dv = e^{2x} \, dx $, entonces $ v = \frac{e^{2x}}{2} $.

Usamos la fórmula de integración por partes $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $:

\[
\int xe^{2x} \, dx = \frac{x e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2} \, dx
\]

La segunda integral es simple:
\[
\int \frac{e^{2x}}{2} \, dx = \frac{e^{2x}}{4}
\]

Por lo tanto, el resultado final es:
\[
\int xe^{2x} \, dx = \frac{x e^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4} + C
\]

---

### IV. Costo marginal y costo total:

La función del costo marginal es:

\[
C'(x) = 8x + 800
\]

Para encontrar el costo total $C(x)$, integramos el costo marginal:

\[
C(x) = \int (8x + 800) \, dx
\]

**Integrando:**

1. La integral de $8x$ es:
   \[
   \int 8x \, dx = 4x^2
   \]

2. La integral de $800$ es:
   \[
   \int 800 \, dx = 800x
   \]

Por lo tanto:
\[
C(x) = 4x^2 + 800x + C
\]

Sabemos que el costo total es de $80,000 cuando se producen 40 unidades, es decir, $C(40) = 80,000$. Sustituyendo:

\[
80,000 = 4(40)^2 + 800(40) + C
\]

Calculamos:
\[
80,000 = 4(1600) + 32,000 + C
\]
\[
80,000 = 6,400 + 32,000 + C
\]
\[
C = 80,000 - 38,400 = 41,600
\]

Por lo tanto, la función del costo total es:
\[
C(x) = 4x^2 + 800x + 41,600
\]

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### ¿Tienes alguna pregunta o quieres más detalles?

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### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se utiliza la integración por partes en otros tipos de funciones?
2. ¿Qué sucede si modificamos el exponente en las funciones exponenciales?
3. ¿Cómo se determina la constante de integración en diferentes escenarios?
4. ¿Qué sucede si el costo marginal es una función no lineal?
5. ¿Cómo cambiaría la integral si agregamos límites de integración a estas funciones?

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### Tip: Para problemas de integración compleja, la sustitución y la integración por partes son herramientas clave.

Resuelve la siguiente integral indefinida:
∫ (𝑥^3 − 2𝑒^{3𝑥} + 3/𝑥 + 5) 𝑑𝑥
II. Resuelve la siguiente integral indefinida:
∫ 2𝑥√(𝑥^2 − 1) 𝑑𝑥
III. Resuelve la siguiente integral indefinida:
∫ 𝑥𝑒^{2𝑥} 𝑑𝑥
IV. La función que describe el costo marginal (en dólares) de la producción de un artículo es 8x+800, donde x indica el número de unidades producidas. Se sabe que el costo total es de $80,000 cuando se fabrican 40 unidades. Determina la función costo total.

Learn how to solve indefinite integrals including algebraic, exponential, and square root functions, along with determining the total cost function from a given marginal cost. This solution covers integration techniques such as substitution and integration by parts. Ideal for undergraduate calculus students.

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