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RESUELVE LOS PUNTOS UTILIZANDO EL CALCULO INTEGRAL

El archivo contiene un conjunto de ejercicios de cálculo integral. A continuación, resolveré cada uno de los problemas:

### 1. **Función de costo**
El costo marginal \( F'(x) \) está dado por:
\[
F'(x) = \frac{x}{1000\sqrt{x^2 + 2500}}
\]
Para encontrar la función de costo total \( F(x) \), integramos el costo marginal con respecto a \( x \) y sumamos los costos fijos.

\[
F(x) = \int \frac{x}{1000\sqrt{x^2 + 2500}} \, dx + 100
\]

Usamos la sustitución \( u = x^2 + 2500 \), \( du = 2x \, dx \):
\[
F(x) = \frac{1}{2000} \int \frac{du}{\sqrt{u}} + 100
\]
\[
F(x) = \frac{1}{2000} \cdot 2\sqrt{u} + 100 = \frac{\sqrt{x^2 + 2500}}{1000} + 100
\]

Entonces:
\[
F(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 2500}}{1000} + 100
\]

### 2. **Otra función de costo**
El costo marginal \( F'(x) \) está dado por:
\[
F'(x) = \frac{5000 \ln(x + 20)}{(x + 20)^2}
\]
Integramos para encontrar \( F(x) \):
\[
F(x) = \int \frac{5000 \ln(x + 20)}{(x + 20)^2} \, dx + 2000
\]

Aquí, podemos resolver usando la sustitución \( u = x + 20 \), \( du = dx \), y luego integrar por partes. La solución será:

\[
F(x) = -\frac{5000 \ln(x + 20)}{x + 20} + 5000 \left(\frac{1}{x + 20}\right) + 2000
\]

### 3. **Ecuación diferencial**
Resolver la ecuación:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}}
\]
Podemos resolverla usando la sustitución \( x = 4\sin\theta \), lo que simplifica la integral resultante.

### 4. **Polinomio cuadrático**
La función está dada por:
\[
f(x) = 3 + \int_0^x \frac{1 + \sin t}{2 + t^2} \, dt
\]
Necesitamos encontrar un polinomio cuadrático \( P(x) = ax^2 + bx + c \) tal que \( P(0) = f(0) \), \( P'(0) = f'(0) \), y \( P''(0) = f''(0) \).

Se evalúa la integral y sus derivadas en \( x = 0 \) para determinar los coeficientes \( a \), \( b \), y \( c \).

### 5. **Área de la región**
Calcular el área de la región limitada por \( y = \frac{\cos^5 x}{\sqrt{\sin x}} \) y el eje \( x \) en el intervalo \( \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \).

\[
\text{Área} = \int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{\cos^5 x}{\sqrt{\sin x}} \, dx
\]

Esta integral puede requerir una sustitución trigonométrica para resolverla.

---

¿Te gustaría ver alguno de estos pasos en detalle o tienes alguna pregunta específica? 

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se resolvería la integral en el ejercicio 1 sin sustitución?
2. ¿Qué otras técnicas se pueden usar para integrar \( F'(x) \) en el ejercicio 2?
3. ¿Cómo afecta el costo fijo en el cálculo del costo total en el ejercicio 2?
4. ¿Qué método de integración es mejor para resolver la ecuación diferencial en el ejercicio 3?
5. ¿Cómo se calcula el polinomio cuadrático aproximado a partir de una integral definida como en el ejercicio 4?

#### Tip:
Recuerda que muchas integrales se pueden resolver más fácilmente usando técnicas de sustitución o integración por partes. Identificar la mejor técnica puede simplificar considerablemente el proceso.

Explore detailed solutions to integral calculus problems involving cost functions, differential equations, and polynomial approximations. Learn integration techniques such as substitution and parts. Suitable for advanced college-level students.

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