¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores son una base ortogonal?.

a.  u=(2,3,1),v=(2,0-4) y w = (1,-1,2)
      u' v = 4 +0 - 4
      u' w = 2 - 3 + 2
      v' w = 2 + 0 - 8

B.    u=(1,2,3) , v = (4,0,-4) y w = (1,-1,-1)
       u' v = 4 + 0 - 4
       u' w = 2 - 3 + 2
       u' w = 2 + 0 - 8

C.     u =(1,2,1), v = (4,0,-4) y w = (1,-1,1)
        u' v = 4 + 0 - 4
        u' w = 1 - 2 + 1
        u' w =  4 + 0 - 4

D.     u= (1,2,1), v = (4,0,-4) y w = (1,-1,1)
         u' v = 4 + 0 - 4
         u' w = 4 + 6 + 1
         u' w = 4 + 0 - 4

Para determinar cuál de los conjuntos de vectores es una base ortogonal, debemos calcular el producto punto entre cada par de vectores dentro de cada conjunto. Si todos los productos punto entre los pares son iguales a 0, entonces el conjunto de vectores es ortogonal.

Vamos a revisar cada opción:

### A.
Vectores:
\[
u = (2,3,1), \quad v = (2,0,-4), \quad w = (1,-1,2)
\]

Cálculo de productos punto:
\[
u \cdot v = 2(2) + 3(0) + 1(-4) = 4 + 0 - 4 = 0
\]
\[
u \cdot w = 2(1) + 3(-1) + 1(2) = 2 - 3 + 2 = 1 \quad (\text{no es } 0)
\]
\[
v \cdot w = 2(1) + 0(-1) + (-4)(2) = 2 + 0 - 8 = -6 \quad (\text{no es } 0)
\]

**Conclusión**: No es ortogonal.

### B.
Vectores:
\[
u = (1,2,3), \quad v = (4,0,-4), \quad w = (1,-1,-1)
\]

Cálculo de productos punto:
\[
u \cdot v = 1(4) + 2(0) + 3(-4) = 4 + 0 - 12 = -8 \quad (\text{no es } 0)
\]
\[
u \cdot w = 1(1) + 2(-1) + 3(-1) = 1 - 2 - 3 = -4 \quad (\text{no es } 0)
\]
\[
v \cdot w = 4(1) + 0(-1) + (-4)(-1) = 4 + 0 + 4 = 8 \quad (\text{no es } 0)
\]

**Conclusión**: No es ortogonal.

### C.
Vectores:
\[
u = (1,2,1), \quad v = (4,0,-4), \quad w = (1,-1,1)
\]

Cálculo de productos punto:
\[
u \cdot v = 1(4) + 2(0) + 1(-4) = 4 + 0 - 4 = 0
\]
\[
u \cdot w = 1(1) + 2(-1) + 1(1) = 1 - 2 + 1 = 0
\]
\[
v \cdot w = 4(1) + 0(-1) + (-4)(1) = 4 + 0 - 4 = 0
\]

**Conclusión**: **Sí es ortogonal**.

### D.
Vectores:
\[
u = (1,2,1), \quad v = (4,0,-4), \quad w = (1,-1,1)
\]

Cálculo de productos punto (nota que aquí los cálculos parecen tener un error tipográfico en el enunciado, pero asumiremos que son los mismos vectores que en C):
\[
u \cdot v = 1(4) + 2(0) + 1(-4) = 4 + 0 - 4 = 0
\]
\[
u \cdot w = 1(1) + 2(-1) + 1(1) = 1 - 2 + 1 = 0
\]
\[
v \cdot w = 4(1) + 0(-1) + (-4)(1) = 4 + 0 - 4 = 0
\]

**Conclusión**: **Sí es ortogonal** (parece ser que es el mismo conjunto que en C, posiblemente un error tipográfico en los cálculos de D).

### Respuesta correcta:
**C.** es un conjunto de vectores que forma una base ortogonal.

---

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

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**Tip:** Una base ortonormal en \(\mathbb{R}^n\) no solo tiene vectores ortogonales, sino que además todos los vectores tienen norma 1.

Learn how to determine if a set of vectors forms an orthogonal basis in \( \mathbb{R}^3 \). Detailed calculations and analysis of dot products are provided for multiple vector sets. Suitable for advanced high school or early college students.

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