¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores en R2 son ortogonales?

 u espacio igual espacio paréntesis izquierdo 5 coma menos 1 paréntesis derecho coma v espacio espacio igual paréntesis izquierdo 5 coma 1 paréntesis derecho espacio y espacio w espacio igual espacio paréntesis izquierdo 1 coma 5 paréntesis derecho 

 

Pregunta 10Respuesta

a.
Los vectores u y w porqué   u espacio por espacio w espacio igual espacio paréntesis izquierdo 5 espacio x espacio 1 paréntesis derecho espacio más espacio paréntesis izquierdo menos 1 espacio x espacio 5 paréntesis derecho


b.
Los vectores u y v porqué U viñeta V igual paréntesis izquierdo 5 multiplicación en cruz 5 paréntesis derecho más paréntesis izquierdo menos 1 multiplicación en cruz 1 paréntesis derecho


c.
Los vectores v y w porqué v espacio por espacio w espacio igual espacio paréntesis izquierdo 5 espacio x espacio 1 paréntesis derecho espacio más paréntesis izquierdo 1 espacio x espacio 5 paréntesis derecho


d.
Los vectores u y u porqué u espacio por espacio u espacio igual espacio paréntesis izquierdo 5 espacio x espacio 5 paréntesis derecho espacio más espacio paréntesis izquierdo menos 1 x espacio menos 1 paréntesis derecho




Para determinar cuáles de los conjuntos de vectores en \(\mathbb{R}^2\) son ortogonales, necesitamos calcular el producto punto (o producto escalar) de cada par de vectores. Dos vectores son ortogonales si y solo si su producto punto es igual a 0.

**Vectores dados:**

- \( \mathbf{u} = (5, -1) \)
- \( \mathbf{v} = (5, 1) \)
- \( \mathbf{w} = (1, 5) \)

**Cálculo de productos punto:**

a) Producto punto de \( \mathbf{u} \) y \( \mathbf{w} \):
\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{w} = 5 \times 1 + (-1) \times 5 = 5 - 5 = 0
\]

b) Producto punto de \( \mathbf{u} \) y \( \mathbf{v} \):
\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 5 \times 5 + (-1) \times 1 = 25 - 1 = 24
\]

c) Producto punto de \( \mathbf{v} \) y \( \mathbf{w} \):
\[
\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 5 \times 1 + 1 \times 5 = 5 + 5 = 10
\]

d) Producto punto de \( \mathbf{u} \) consigo mismo:
\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{u} = 5 \times 5 + (-1) \times (-1) = 25 + 1 = 26
\]

**Conclusión:**

- Los vectores \( \mathbf{u} \) y \( \mathbf{w} \) son ortogonales porque su producto punto es \(0\).
- Las otras opciones no son correctas porque los productos puntos de los vectores involucrados no son cero.

**Respuesta correcta:**  
a. Los vectores \( \mathbf{u} \) y \( \mathbf{w} \) porque \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} = 5 \times 1 + (-1) \times 5 = 0 \).

---

¿Te gustaría más detalles sobre el producto punto y la ortogonalidad? Aquí tienes 8 preguntas relacionadas:

1. ¿Qué es un producto punto?
2. ¿Cómo se puede interpretar geométricamente el producto punto?
3. ¿Cuál es la importancia de la ortogonalidad en \(\mathbb{R}^2\)?
4. ¿Cómo se puede verificar si dos vectores en \(\mathbb{R}^2\) son ortogonales?
5. ¿Cómo se relaciona el ángulo entre dos vectores con su producto punto?
6. ¿Qué ocurre si el producto punto de dos vectores es positivo?
7. ¿Qué ocurre si el producto punto de dos vectores es negativo?
8. ¿Cuál es la diferencia entre producto punto y producto cruzado?

**Tip:** La ortogonalidad es fundamental en muchos campos, como la geometría, álgebra lineal, y también en aplicaciones como análisis de datos y procesamiento de señales.

Learn how to determine which sets of vectors in \( \mathbb{R}^2 \) are orthogonal using the dot product. This problem involves calculating dot products of vectors and understanding the concept of orthogonality in vector spaces. Suitable for high school students studying algebra or linear algebra.

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