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Halle la fórmula para el área sombreada en la figura 

Para hallar la fórmula del área sombreada en la figura, que es una figura en forma de "L", debemos dividir la figura en dos rectángulos más simples y luego sumar sus áreas.

### Paso 1: Dividir la figura en dos rectángulos
Observando la figura, podemos identificar dos rectángulos:

1. **Rectángulo 1**: El rectángulo grande en la parte superior izquierda.
   - Largo: \(5x + 1\)
   - Ancho: \(2x + 3\)

2. **Rectángulo 2**: El rectángulo pequeño en la parte inferior derecha.
   - Largo: \(5x + 1\)
   - Ancho: \(x\)

### Paso 2: Calcular el área de cada rectángulo
Calculamos el área de cada rectángulo usando la fórmula del área del rectángulo \(A = \text{largo} \times \text{ancho}\).

1. **Área del Rectángulo 1** (\(A_1\)):
   \[
   A_1 = (5x + 1)(2x + 3)
   \]

2. **Área del Rectángulo 2** (\(A_2\)):
   \[
   A_2 = (5x + 1)(x)
   \]

### Paso 3: Área total de la figura en "L"
Para obtener el área total \(A_{\text{total}}\), sumamos las áreas de los dos rectángulos y restamos el área superpuesta (que es un cuadrado de lado \(x\)) para no contarlo dos veces:

\[
A_{\text{total}} = A_1 + A_2 - x^2
\]

### Paso 4: Expansión de las áreas
Primero, expandimos las áreas de los rectángulos:

1. **Expansión de \(A_1\)**:
   \[
   A_1 = (5x)(2x) + (5x)(3) + (1)(2x) + (1)(3) = 10x^2 + 15x + 2x + 3 = 10x^2 + 17x + 3
   \]

2. **Expansión de \(A_2\)**:
   \[
   A_2 = (5x + 1)(x) = 5x^2 + x
   \]

Finalmente, sumamos y restamos las áreas correspondientes:

\[
A_{\text{total}} = (10x^2 + 17x + 3) + (5x^2 + x) - x^2
\]

Simplificando:

\[
A_{\text{total}} = 14x^2 + 18x + 3
\]

### Resultado final:
La fórmula para el área sombreada de la figura es:

\[
A_{\text{total}} = 14x^2 + 18x + 3
\]

¿Tienes alguna pregunta adicional o te gustaría más detalles?

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### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo cambia el área si se modifica solo el valor de \(x\)?
2. ¿Qué sucede con el área si \(x\) toma valores específicos como 1 o 0?
3. ¿Cómo se podría descomponer la figura en más partes para simplificar el cálculo?
4. ¿Qué diferencia habría si uno de los lados cambiara de longitud?
5. ¿Podrías calcular el perímetro de esta figura?

### Tip:
Al trabajar con áreas compuestas, descomponer la figura en partes más simples es clave para un cálculo más claro y preciso.

Aprende a hallar la fórmula del área sombreada en la figura en forma de "L" utilizando rectángulos y la fórmula del área. Este problema cubre conceptos de áreas de figuras geométricas y algebraicos. Adecuado para estudiantes de secundaria (Grados 7-12).

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