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Para entender por qué el punto \( Q = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \) en el problema que se muestra en la imagen, vamos a desglosar los detalles del enunciado y el gráfico:

1. **Pendiente de la recta \( l \)**:
   - El enunciado menciona que la pendiente de la recta \( l \) es \( \text{pend}(l) = 2 \). Esto implica que la recta que pasa por el origen \( O \) tiene una ecuación de la forma:
   \[
   y = 2x
   \]
   Así que la relación entre las coordenadas de los puntos en esa recta sigue esta fórmula.

2. **Triángulo isósceles rectángulo**:
   - Se nos dice que el triángulo \( POQ \) es un triángulo rectángulo isósceles, lo que significa que los dos catetos tienen la misma longitud. El vértice \( P \) está en la recta \( l \), y sabemos que la hipotenusa mide \( \sqrt{2} \). Recordemos que en un triángulo rectángulo isósceles, los catetos tienen longitud \( a \) y la hipotenusa es \( a\sqrt{2} \). Por lo tanto, si la hipotenusa mide \( \sqrt{2} \), la longitud de los catetos es \( 1 \).

3. **Coordenadas de \( Q \)**:
   - El punto \( Q \) se encuentra en el cuarto cuadrante, como se observa en el gráfico. Para determinar sus coordenadas, necesitamos utilizar tanto la geometría del triángulo como la pendiente de la recta.
   
4. **Cálculo de las coordenadas de \( Q \)**:
   - Si \( POQ \) es un triángulo rectángulo isósceles con catetos de longitud \( 1 \), podemos deducir las coordenadas de \( Q \). Supongamos que las coordenadas de \( P \) están en la recta \( l \) con pendiente \( 2 \) y que \( Q \) está en el cuarto cuadrante.
   
   La relación entre las coordenadas de \( Q \) se puede calcular a partir de la posición del triángulo y la distancia. Para simplificar, los coeficientes dados \(\frac{2}{\sqrt{5}}\) y \(-\frac{1}{\sqrt{5}}\) surgen del proceso geométrico para definir los puntos en relación con los ángulos del triángulo isósceles en el gráfico, y cómo los lados del triángulo se relacionan con la pendiente.

Por tanto, el valor de \( Q = \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}} \right) \) es el resultado de aplicar la relación entre las longitudes y los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles en ese contexto geométrico.

¿Te gustaría que profundice más en algún paso o en las coordenadas de \( Q \)? Aquí te dejo algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se puede deducir la ecuación de la recta \( l \) a partir de la pendiente y un punto?
2. ¿Por qué el triángulo rectángulo isósceles tiene esa relación específica entre sus catetos y la hipotenusa?
3. ¿Cómo se pueden calcular coordenadas en términos de distancias y ángulos en un plano cartesiano?
4. ¿Qué métodos geométricos se pueden usar para encontrar las coordenadas de \( Q \) en otros casos?
5. ¿Cómo afectan las pendientes a la geometría de los triángulos en gráficos cartesianos?

**Tip:** Los triángulos isósceles rectángulos tienen una relación especial en los ángulos, ya que ambos ángulos no rectos miden \( 45^\circ \), lo cual simplifica muchos cálculos geométricos.

Explore the mathematical solution for finding the coordinates of point Q using the properties of an isosceles right triangle and the line equation y = 2x. This detailed analysis provides insights into the use of the Pythagorean theorem, line equations, and the properties of isosceles triangles in a coordinate plane. Suitable for high school students studying advanced geometry.

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