 Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o lim(x,y)→(0,0) 
xy4
 x4+y4
 

Para determinar se o limite da função dada conforme \((x, y) \to (0, 0)\) existe e, caso exista, encontrá-lo, precisamos calcular:

\[
\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^4}{x^4 + y^4}
\]

### 1. Verificação direta
Primeiramente, substituindo diretamente \((x, y) = (0, 0)\) na função, tanto o numerador quanto o denominador se tornam 0. Portanto, temos uma indeterminação do tipo \(\frac{0}{0}\), o que sugere que devemos examinar o limite com mais cuidado.

### 2. Verificação por Caminhos Diferentes
Para verificar se o limite existe, podemos analisar o comportamento da função ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto \((0, 0)\).

#### a) Caminho \( y = 0 \)
Substituindo \(y = 0\) na função:

\[
\frac{xy^4}{x^4 + y^4} = \frac{x(0)^4}{x^4 + (0)^4} = \frac{0}{x^4} = 0
\]

Neste caminho, o limite é 0.

#### b) Caminho \( x = 0 \)
Substituindo \(x = 0\) na função:

\[
\frac{xy^4}{x^4 + y^4} = \frac{(0)y^4}{(0)^4 + y^4} = \frac{0}{y^4} = 0
\]

Neste caminho, o limite também é 0.

#### c) Caminho \( y = x \)
Substituindo \(y = x\) na função:

\[
\frac{xy^4}{x^4 + y^4} = \frac{x(x)^4}{x^4 + x^4} = \frac{x^5}{2x^4} = \frac{x}{2}
\]

Neste caso, quando \((x, y) \to (0, 0)\), o limite tende a 0.

### 3. Conclusão
Os limites ao longo dos três caminhos analisados resultam em 0. Podemos conjecturar que o limite geral é 0. Para confirmar, observamos que a função é simétrica em \(x\) e \(y\), o que significa que seu comportamento ao redor de \((0,0)\) deve ser o mesmo em qualquer direção.

Portanto, podemos afirmar que:

\[
\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^4}{x^4 + y^4} = 0
\]

### Conclusão Final
O limite existe e é igual a 0.

---

Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida sobre este cálculo?  
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2. Qual é a importância de verificar o limite ao longo de diferentes caminhos?
3. Quais são os critérios para que o limite de uma função de duas variáveis exista?
4. Como os limites são usados para determinar a continuidade em funções de várias variáveis?
5. Quando é adequado utilizar a simetria de uma função para calcular limites?

**Dica:** Verificar o limite ao longo de diferentes caminhos é uma técnica poderosa para determinar se um limite existe e é único.

Explore how to evaluate the limit of the function xy^4 / (x^4 + y^4) as (x, y) approaches (0, 0). Learn through detailed path analysis along different routes and conclude that the limit exists and is 0. Suitable for advanced undergraduate mathematics students.

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