Un club de vóley tiene 12 jugadoras, una de ellas es la capitana María. ¿Cuántos equipos diferentes de 6 jugadoras se pueden formar, sabiendo que en todos ellos siempre estará la capitana María?

Para resolver este problema, primero consideramos que María siempre estará en el equipo de 6 jugadoras. Esto implica que sólo necesitamos elegir las otras 5 jugadoras de entre las restantes 11.

El número de formas de seleccionar 5 jugadoras de un conjunto de 11 es dado por el coeficiente binomial \(\binom{11}{5}\).

La fórmula para el coeficiente binomial es:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

En este caso, \(n = 11\) y \(k = 5\):

\[ \binom{11}{5} = \frac{11!}{5!(11-5)!} = \frac{11!}{5! \cdot 6!} \]

Calculamos los factoriales correspondientes:

\[ 11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! \]
\[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]
\[ 6! = 720 \]

Simplificamos la fracción:

\[ \binom{11}{5} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{5! \times 6!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{120} \]

Realizamos la división:

\[ 11 \times 10 = 110 \]
\[ 110 \div 5 = 22 \]

\[ 22 \times 9 = 198 \]
\[ 198 \div 3 = 66 \]

\[ 66 \times 8 = 528 \]
\[ 528 \div 4 = 132 \]

\[ 132 \times 7 = 924 \]

Por lo tanto:

\[ \binom{11}{5} = 924 \]

Esto significa que se pueden formar **924 equipos diferentes de 6 jugadoras** en los que siempre esté incluida la capitana María.

¿Te gustaría algún detalle adicional o tienes alguna pregunta específica?

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo se calcula el coeficiente binomial \(\binom{n}{k}\) en otros contextos?
2. ¿Qué diferencia hay entre permutaciones y combinaciones cuando se elige un equipo?
3. ¿Cómo se aplican los coeficientes binomiales en otras áreas de la combinatoria?
4. ¿Qué ocurre si hay más restricciones en la formación de equipos?
5. ¿Cómo afecta la inclusión o exclusión de ciertos miembros en la cantidad de equipos posibles?
6. ¿Qué son los factoriales y cómo se calculan?
7. ¿Qué métodos existen para simplificar cálculos combinatorios?
8. ¿Cómo cambiaría el problema si se permitiesen jugadoras repetidas en los equipos?

**Tip:** Cuando tengas problemas de combinatoria con restricciones, intenta primero aplicar las restricciones y luego utiliza las fórmulas combinatorias para el grupo reducido.

Aprende cómo formar diferentes equipos de vóley con María como capitana usando el coeficiente binomial. En este problema de combinatoria, calculamos cuántos equipos de 6 jugadoras se pueden formar con María siempre incluida. Solución paso a paso con fórmulas y ejemplos.

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