Se tienen 10 pelotas en una caja, 3 son rojas y 7 son azules. Calcule  la distribución  de la probabilidad binomial para obtener 5 pelotas rojas. 

calcula la distribucion binomial

Para calcular la distribución binomial, se usa la siguiente fórmula:

\[
P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
\]

Donde:
- \( P(X = k) \) es la probabilidad de obtener exactamente \( k \) éxitos en \( n \) ensayos.
- \( \binom{n}{k} \) es el coeficiente binomial que se calcula como \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
- \( p \) es la probabilidad de éxito en un ensayo.
- \( n \) es el número total de ensayos.
- \( k \) es el número de éxitos deseados.

### Datos:
- \( n = 10 \) (número total de pelotas).
- \( k = 5 \) (número de pelotas rojas que queremos).
- \( p = \frac{3}{10} = 0.3 \) (probabilidad de sacar una pelota roja en un solo ensayo).

### Paso 1: Calcular el coeficiente binomial
\[
\binom{10}{5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252
\]

### Paso 2: Calcular la probabilidad
\[
P(X = 5) = 252 \times (0.3)^5 \times (1-0.3)^{10-5}
\]
\[
P(X = 5) = 252 \times (0.3)^5 \times (0.7)^5
\]
\[
P(X = 5) \approx 252 \times 0.00243 \times 0.16807
\]
\[
P(X = 5) \approx 0.1029
\]

### Respuesta:
La probabilidad de obtener exactamente 5 pelotas rojas al sacar 10 pelotas de la caja es aproximadamente \( 0.1029 \), o 10.29%.

---

¿Te gustaría obtener más detalles sobre el cálculo o tienes alguna pregunta? 

Aquí hay algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula la probabilidad para diferentes valores de \( k \)?
2. ¿Cómo se interpreta una distribución binomial?
3. ¿Cómo afecta el valor de \( p \) a la distribución binomial?
4. ¿Qué sucede si se cambia el número total de pelotas?
5. ¿Cómo se calculan las probabilidades acumulativas en una distribución binomial?
6. ¿Qué otros ejemplos comunes usan la distribución binomial?
7. ¿Cómo se puede graficar la distribución binomial?
8. ¿Cuál es la relación entre la distribución binomial y la distribución normal?

**Tip:** En la distribución binomial, si \( n \) es grande y \( p \) está cerca de 0.5, la distribución tiende a parecerse a una distribución normal.

Aprende cómo calcular la distribución binomial para obtener exactamente 5 pelotas rojas de una caja que contiene 10 pelotas en total, con 3 rojas y 7 azules. Este problema utiliza la fórmula de la distribución binomial y el coeficiente binomial para determinar la probabilidad. Calcula paso a paso con un ejemplo práctico y descubre cómo varían las probabilidades con diferentes valores de \( p \) y \( n \).

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation