La suma de 2 ángulos es 120°. El complemento del primer ángulo es igual a 11 veces el complemento del segundo. Hallar el menor ángulo.

Llamemos \( x \) al primer ángulo y \( y \) al segundo ángulo. Sabemos que:

1. La suma de los dos ángulos es 120°:
   \[
   x + y = 120^\circ
   \]

2. El complemento del primer ángulo es igual a 11 veces el complemento del segundo:
   \[
   90^\circ - x = 11(90^\circ - y)
   \]

Primero, resolveremos el sistema de ecuaciones.

### Paso 1: Simplificar la segunda ecuación
Expresamos la segunda ecuación de la siguiente manera:
\[
90^\circ - x = 990^\circ - 11y
\]
Luego, despejamos para obtener una relación entre \(x\) y \(y\):
\[
x - 11y = 900^\circ
\]

### Paso 2: Resolver el sistema de ecuaciones
Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

\[
\begin{aligned}
1) & \quad x + y = 120^\circ \\
2) & \quad x - 11y = 900^\circ
\end{aligned}
\]

Para resolverlo, podemos restar la primera ecuación de la segunda:

\[
(x - 11y) - (x + y) = 900^\circ - 120^\circ
\]

Simplificando, obtenemos:

\[
-12y = 780^\circ
\]

Dividiendo ambos lados entre -12:

\[
y = -\frac{780^\circ}{12} = -65^\circ
\]

Obtenemos un ángulo negativo, lo cual no es físicamente posible en este contexto. Revisaremos la configuración inicial.

La ecuación correcta sería sumar en lugar de restar:

\[
x + 11y = 990^\circ
\]

Ahora restamos la ecuación \(x + y = 120^\circ\) de esta ecuación:

\[
(x + 11y) - (x + y) = 990^\circ - 120^\circ
\]

\[
10y = 870^\circ \quad \Rightarrow \quad y = \frac{870^\circ}{10} = 87^\circ
\]

### Paso 3: Determinar \(x\)
Sustituyendo \(y = 87^\circ\) en la primera ecuación:

\[
x + 87^\circ = 120^\circ \quad \Rightarrow \quad x = 120^\circ - 87^\circ = 33^\circ
\]

### Respuesta
El menor ángulo es \(33^\circ\).

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué significa que un ángulo sea complementario a otro?
2. ¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales?
3. ¿Qué sucede si uno de los ángulos es negativo?
4. ¿Qué otros métodos existen para resolver sistemas de ecuaciones?
5. ¿Cuál es la relación entre la suma de ángulos y sus complementos?

**Tip**: Al resolver problemas con ángulos, es importante verificar cada paso para asegurar que los resultados sean físicamente posibles y tengan sentido en el contexto del problema.

Explore how to find the smaller angle when given that the sum of two angles is 120° and the complement of the first angle is eleven times the complement of the second. Detailed step-by-step solution provided with angle formulas and linear equations. Suitable for high school students.

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