On a les trois points : A(5;4) B(6;3) et C(2;y) :  Déterminer y pour que ABC soit rectangle en A

Pour que le triangle ABC soit rectangle en A, le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) doit être perpendiculaire au vecteur \(\overrightarrow{AC}\). Deux vecteurs sont perpendiculaires si leur produit scalaire est nul.

Les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont :
\[
\overrightarrow{AB} = (6-5, 3-4) = (1, -1)
\]
\[
\overrightarrow{AC} = (2-5, y-4) = (-3, y-4)
\]

Le produit scalaire de ces deux vecteurs est donné par :
\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \times (-3) + (-1) \times (y-4) = -3 - (y-4)
\]

Pour que le produit scalaire soit nul (car \(\overrightarrow{AB}\) est perpendiculaire à \(\overrightarrow{AC}\)), on doit avoir :
\[
-3 - (y - 4) = 0
\]

Simplifions l'équation :
\[
-3 - y + 4 = 0
\]
\[
1 - y = 0
\]
\[
y = 1
\]

Donc, pour que le triangle ABC soit rectangle en A, \(y\) doit être égal à 1.

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### Astuce
Pour vérifier si un triangle est rectangle, vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore ou vérifier si les vecteurs associés aux côtés sont perpendiculaires à l'aide du produit scalaire.

Learn how to determine the value of y for triangle ABC to be rectangular at point A. This problem involves applying vector geometry concepts, specifically the perpendicular vectors theorem. Suitable for high school students studying geometry and vectors.

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