Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh
bằng 2, SA vuông góc với đáy và SA = 1. Thiết lập hệ toạ
độ như hình vẽ bên dưới. Xét tính đúng sai của các khẳng
định sau:
a) C(2; 0; 0). b) # » OB = (−1; 0; 0).
c) # » HS = (1; √

3; 0). d) S(0; √
3; 1).

Ta có hình chóp \( S.ABC \) với đáy là tam giác đều \( ABC \) cạnh bằng 2, \( SA \) vuông góc với đáy và \( SA = 1 \). Ta thiết lập hệ trục tọa độ như sau:

- Đặt \( A(1, 0, 0) \), \( B(-1, 0, 0) \) và \( C \) có tọa độ cần tìm.
- Vì \( S \) nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy và đi qua trọng tâm của tam giác đáy nên \( S \) có tọa độ \( S(x_S, y_S, z_S) \) với \( z_S = 1 \).

### Xét tính đúng sai của các khẳng định:

**a) \( C(2; 0; 0) \)**

- Vì tam giác \( ABC \) là tam giác đều, tọa độ \( C \) phải thỏa mãn điều kiện \( |AC| = |AB| = |BC| = 2 \).
- Giả sử \( C(2, 0, 0) \), khi đó:
  \[
  |AC| = \sqrt{(2-1)^2 + (0-0)^2} = 1 \quad (\text{sai})
  \]
  \[
  |AB| = \sqrt{(-1-1)^2 + (0-0)^2} = 2 \quad (\text{đúng})
  \]
  \[
  |BC| = \sqrt{(2-(-1))^2 + (0-0)^2} = 3 \quad (\text{sai})
  \]
  Vì vậy, tọa độ \( C(2, 0, 0) \) là **sai**.

**b) \( \vec{OB} = (-1; 0; 0) \)**

- Tọa độ \( O \) là gốc tọa độ \( (0, 0, 0) \) và \( B(-1, 0, 0) \).
- Khi đó \( \vec{OB} = B - O = (-1, 0, 0) \).
  
  Do đó, khẳng định này là **đúng**.

**c) \( \vec{HS} = (1; \sqrt{3}; 0) \)**

- H là trung điểm của \( BC \) trong tam giác đều, \( H \) là trọng tâm của tam giác.
- Do đó, tọa độ \( H \) là \( \left( \frac{A_x + B_x + C_x}{3}, \frac{A_y + B_y + C_y}{3}, 0 \right) \).
- Từ đó, tọa độ \( H \) và \( S \) có \( z_S = 1 \), do đó \( \vec{HS} \) không thể có \( z = 0 \), vì vậy khẳng định này **sai**.

**d) \( S(0; \sqrt{3}; 1) \)**

- Với tam giác đều \( ABC \) đặt trọng tâm tại \( G \), \( G \) có tọa độ \( (x_G, y_G, 0) \) với \( x_G = 0 \) và \( y_G = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \).
- Vì \( S \) trên đường thẳng vuông góc với đáy tại \( G \) và \( S(0, \sqrt{3}, 1) \) thì khẳng định này là **đúng**.

Vậy, các khẳng định **b** và **d** là đúng, còn **a** và **c** là sai.

---

Bạn có muốn chi tiết về một phần nào đó hoặc có câu hỏi gì thêm không?

**Các câu hỏi liên quan:**
1. Tọa độ chính xác của điểm \( C \) là gì?
2. Tính khoảng cách từ điểm \( S \) đến mặt phẳng \( (ABC) \).
3. Cách xác định trọng tâm của tam giác đều.
4. Nếu thay đổi chiều cao \( SA \), tọa độ của \( S \) sẽ thay đổi như thế nào?
5. Xác định góc giữa đường thẳng \( SA \) và đường thẳng \( BC \).
6. Tìm tọa độ của điểm \( H \), trung điểm của cạnh \( BC \).
7. Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
8. Xác định vector pháp tuyến của mặt phẳng \( ABC \).

**Mẹo:** Khi giải toán hình học trong không gian, việc chọn hệ tọa độ phù hợp giúp tính toán và chứng minh dễ dàng hơn.

Explore a spatial geometry problem involving an equilateral triangle base, a perpendicular apex, and coordinate system setup. Analyze the correctness of given statements regarding vertices and vectors. Suitable for high school students studying geometry and vectors.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation