5) Una compañía ha lanzado un nuevo  producto al mercado, la función utilidad durante su primer año 
está dada por   80 20 6 3
 2
 3
     t t t t U en millones, si 12 1  t , siendo t los meses del año. 
Determine.  
 
a) En que meses del año se dio la mayor y menor utilidad. 
b) De cuanto fue la mayor y menor utilidad. 

Vamos a resolver el problema con la función de utilidad dada:

\[
U(t) = t^3 - 6t^2 + 20t + 80
\]

donde \(t\) representa los meses del año, y está en el rango \(1 \leq t \leq 12\).

### a) Determinar los meses con la mayor y menor utilidad
Para encontrar los meses en los que se alcanzan la mayor y menor utilidad, necesitamos encontrar los puntos críticos de la función \(U(t)\) derivando la función y resolviendo \(U'(t) = 0\).

\[
U'(t) = 3t^2 - 12t + 20
\]

Resolveremos esta ecuación cuadrática para encontrar los puntos críticos. Luego, evaluaremos la función en los extremos del intervalo \(t = 1\) y \(t = 12\) y en los puntos críticos para determinar los valores máximos y mínimos.

Voy a proceder a resolver estos pasos para encontrar la mayor y menor utilidad y en qué meses ocurrieron.### Resumen de la solución:

Dado que la función de utilidad \( U(t) = t^3 - 6t^2 + 20t + 80 \) no tiene puntos críticos reales dentro del intervalo \(1 \leq t \leq 12\), evaluamos la función en los extremos del intervalo.

#### a) Meses con la mayor y menor utilidad:
- **Mayor utilidad**: Mes \(t = 12\).
- **Menor utilidad**: Mes \(t = 1\).

#### b) Valores de la mayor y menor utilidad:
- **Mayor utilidad**: \(1184\) millones de dólares.
- **Menor utilidad**: \(95\) millones de dólares.

¿Necesitas alguna aclaración adicional o tienes alguna otra pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta la presencia de raíces complejas en la búsqueda de máximos y mínimos en aplicaciones prácticas?
2. ¿Por qué no se encontraron puntos críticos reales en esta función?
3. ¿Cómo se puede interpretar el comportamiento de la utilidad a lo largo del año basándose en esta función?
4. ¿Qué significaría un cambio en los coeficientes de la función para la utilidad máxima y mínima?
5. ¿Cómo se puede aplicar este análisis en otros escenarios de negocios?

**Tip:** En casos donde la derivada de una función no tiene soluciones reales dentro del intervalo, siempre verifica los extremos del intervalo para encontrar los valores máximos y mínimos.

Learn how to determine the months with maximum and minimum utility in business analysis using a polynomial function. Solve for the function U(t) = t^3 - 6t^2 + 20t + 80 over the year. Understand the process of finding critical points and evaluating utility values. Suitable for advanced high school students and beyond.

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