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Please solve the problem in detail in Korean.

이미지를 분석한 후, 문제를 풀어드리겠습니다.

### 문제 분석:
이미지에서 주어진 문제는 다음과 같습니다:

1. 주어진 벡터 함수 \(\vec{r}(t)\)에 대한 속도와 가속도를 구하는 문제입니다.
2. 주어진 수식은 다음과 같습니다:
   \[
   \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} t^2 \\ 2t \\ \ln t \end{pmatrix}
   \]
   이 벡터 함수에 대해, 첫째 문제는 \(\vec{v}(t)\)와 \(\vec{a}(t)\)를 구하는 것입니다.

3. 두 번째 문제는 주어진 식을 사용하여 특정 시점에서의 속도와 가속도를 계산하는 문제입니다.
   \[
   t = e
   \]

### 문제 풀이:

#### 1. 속도 벡터 \(\vec{v}(t)\) 구하기:
속도 벡터는 벡터 함수 \(\vec{r}(t)\)의 시간 \(t\)에 대한 도함수로 정의됩니다.
\[
\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt}
\]
이를 각 성분에 대해 계산하면:
\[
\vec{v}(t) = \begin{pmatrix} \frac{d}{dt} t^2 \\ \frac{d}{dt} 2t \\ \frac{d}{dt} \ln t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2t \\ 2 \\ \frac{1}{t} \end{pmatrix}
\]

#### 2. 가속도 벡터 \(\vec{a}(t)\) 구하기:
가속도 벡터는 속도 벡터 \(\vec{v}(t)\)의 시간 \(t\)에 대한 도함수로 정의됩니다.
\[
\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt}
\]
이를 각 성분에 대해 계산하면:
\[
\vec{a}(t) = \begin{pmatrix} \frac{d}{dt} 2t \\ \frac{d}{dt} 2 \\ \frac{d}{dt} \frac{1}{t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -\frac{1}{t^2} \end{pmatrix}
\]

#### 3. 특정 시점 \(t = e\)에서의 속도와 가속도:
주어진 \(t = e\)일 때, 속도와 가속도를 구합니다.

- 속도 벡터 \(\vec{v}(t)\)에서 \(t = e\)를 대입하면:
\[
\vec{v}(e) = \begin{pmatrix} 2e \\ 2 \\ \frac{1}{e} \end{pmatrix}
\]

- 가속도 벡터 \(\vec{a}(t)\)에서 \(t = e\)를 대입하면:
\[
\vec{a}(e) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -\frac{1}{e^2} \end{pmatrix}
\]

### 최종 답:
주어진 벡터 함수 \(\vec{r}(t)\)에 대한 속도와 가속도는 다음과 같습니다:
- 속도 벡터: \(\vec{v}(t) = \begin{pmatrix} 2t \\ 2 \\ \frac{1}{t} \end{pmatrix}\)
- 가속도 벡터: \(\vec{a}(t) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -\frac{1}{t^2} \end{pmatrix}\)

특정 시점 \(t = e\)에서:
- 속도 벡터: \(\vec{v}(e) = \begin{pmatrix} 2e \\ 2 \\ \frac{1}{e} \end{pmatrix}\)
- 가속도 벡터: \(\vec{a}(e) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -\frac{1}{e^2} \end{pmatrix}\)

이해가 되셨나요? 추가 설명이나 궁금한 점이 있으신가요?

### 관련 질문:
1. 벡터 함수의 기하학적 의미는 무엇인가요?
2. 속도 벡터와 가속도 벡터의 물리적 의미는 무엇인가요?
3. 벡터 함수에서 곡률을 계산하는 방법은 무엇인가요?
4. 벡터 함수의 길이를 계산하는 방법은 무엇인가요?
5. 벡터 함수의 매개변수를 바꾸면 결과에 어떤 영향을 미칠까요?

### 팁:
벡터 함수의 미분을 이해하면 물리학에서 물체의 운동을 분석하는 데 유용합니다. 속도와 가속도는 각각 위치 벡터의 1차 및 2차 도함수입니다.

Explore the analysis of vector functions to find velocity and acceleration vectors. This problem involves computing derivatives of vector components using specific examples.

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