Sumar 10 centavos diarios y duplicarlos cada día

Este problema plantea un crecimiento exponencial de los 10 centavos diarios, duplicando la cantidad cada día. Para calcular la suma total al final de un número específico de días, sigamos el siguiente procedimiento:

1. **Definir la fórmula de crecimiento diario**:  
   - El valor inicial es \( 0.10 \) (10 centavos).
   - La cantidad se duplica cada día, lo que se puede expresar como \( 0.10 \times 2^{n-1} \) para el \( n \)-ésimo día.

2. **Sumar las cantidades diarias durante \( N \) días**:  
   La suma total es la suma de una serie geométrica, donde el primer término es \( a = 0.10 \) y la razón común \( r = 2 \). Si se quiere sumar hasta el día \( n \), la fórmula de la suma \( S_n \) de la serie geométrica es:

   \[
   S_n = a \times \frac{r^n - 1}{r - 1}
   \]

   En este caso:

   \[
   S_n = 0.10 \times \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 0.10 \times (2^n - 1)
   \]

   La suma depende del número de días, \( n \).

### Ejemplo para 7 días

Si se quiere calcular para 7 días:

\[
S_7 = 0.10 \times (2^7 - 1) = 0.10 \times (128 - 1) = 0.10 \times 127 = 12.7 \text{ dólares}
\]

### ¿Quieres detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula el valor exacto en cualquier día \( n \)?
2. ¿Qué es una serie geométrica y cómo se aplica en otros problemas?
3. ¿Qué sucede si en lugar de duplicar, se multiplica por 3?
4. ¿Cómo cambia la suma si se empieza con una cantidad diferente?
5. ¿Qué aplicaciones tiene este tipo de crecimiento exponencial en finanzas?

**Tip**: Los problemas de crecimiento exponencial son comunes en finanzas, biología y tecnología, donde el efecto de duplicar puede tener impactos significativos a lo largo del tiempo.

Understand and solve the problem of summing 10 cents daily, doubling it each day. Learn the formula for exponential growth and series summation. Suitable for advanced high school students and anyone interested in geometric series in mathematics.

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