año
 

está dada por Determine.
 
   t 3 
3
 
6t 2 
 
20t
 
 80
 

en millones, si
 
1  t
 
 12, siendo t los meses del año.
 
a)	En que meses del año se dio la mayor y menor utilidad.
b)	De cuanto fue la mayor y menor utilidad


Dado el problema, tenemos una función de utilidad en millones de dólares dada por:

\[
U(t) = t^3 - 6t^2 + 20t + 80
\]

donde \(t\) representa los meses del año, y está en el rango \(1 \leq t \leq 12\). Se nos pide determinar:

a) Los meses en los que se obtuvo la mayor y menor utilidad.
b) Los valores de la mayor y menor utilidad.

### a) Determinar los meses con la mayor y menor utilidad
Para encontrar los meses en los que se alcanzan la mayor y menor utilidad, debemos calcular los puntos críticos de la función \(U(t)\). Esto se hace derivando la función y resolviendo \(U'(t) = 0\):

\[
U'(t) = \frac{d}{dt} \left( t^3 - 6t^2 + 20t + 80 \right)
\]

Derivando:

\[
U'(t) = 3t^2 - 12t + 20
\]

Ahora, igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

\[
3t^2 - 12t + 20 = 0
\]

Esta es una ecuación cuadrática. Intentaré resolverla.

### b) Calcular la mayor y menor utilidad
Después de obtener los puntos críticos, evaluamos \(U(t)\) en estos puntos críticos, así como en los extremos del intervalo \(t = 1\) y \(t = 12\), para determinar los valores máximos y mínimos de la utilidad.

Voy a resolver la ecuación cuadrática para encontrar los puntos críticos y luego evaluar \(U(t)\) en esos puntos y en los extremos del intervalo.La derivada de la función de utilidad \( U(t) \) es:

\[
U'(t) = 3t^2 - 12t + 20
\]

Al resolver \( U'(t) = 0 \), obtuvimos los puntos críticos:

\[
t = 2 - \frac{2\sqrt{6}i}{3}, \quad t = 2 + \frac{2\sqrt{6}i}{3}
\]

Estos resultados son complejos, lo que significa que no hay puntos críticos reales dentro del dominio dado \(1 \leq t \leq 12\).

### Evaluación en los extremos del intervalo
Dado que no hay puntos críticos reales, evaluaremos la función \( U(t) \) en los extremos del intervalo para encontrar la mayor y menor utilidad.

Voy a evaluar \( U(t) \) en \( t = 1 \) y \( t = 12 \).La utilidad en los extremos del intervalo es:

- \( U(1) = 95 \) millones.
- \( U(12) = 1184 \) millones.

### Respuesta final
a) La mayor utilidad se dio en el mes 12, y la menor utilidad en el mes 1.

b) La mayor utilidad fue de 1184 millones, y la menor de 95 millones.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí hay 5 preguntas relacionadas que pueden ayudarte a profundizar en el tema:

1. ¿Cómo se determina si un punto crítico es un máximo o mínimo?
2. ¿Por qué es importante evaluar la función en los extremos del intervalo?
3. ¿Cómo afecta la complejidad de una función a la búsqueda de máximos y mínimos?
4. ¿Qué otros métodos existen para encontrar máximos y mínimos en un intervalo?
5. ¿Cómo se interpretan las raíces complejas en el contexto de este problema?

**Tip:** Siempre evalúa la función en los extremos de un intervalo cerrado si no se encuentran puntos críticos reales, ya que el máximo y mínimo global pueden ocurrir allí.

Explore the analysis of the utility function U(t) = t^3 - 6t^2 + 20t + 80, determining months of highest and lowest utility. Learn about derivatives, extrema, and real-world applications. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation