Una empresa produce un producto cuya relación de la demanda está dada por
x=100\:in\:\left(16-p^2\right) 
donde x es el número de unidades y p el precio. 
a) Encuentre la función de Ingreso marginal 

Para encontrar la función de ingreso marginal de una empresa cuya relación de demanda está dada por \( x = 100 \ln(16 - p^2) \), primero debemos obtener la función de ingreso total \( R(p) \) y luego derivarla con respecto al precio \( p \).

1. **Obtener la función de ingreso total \( R(p) \):**

El ingreso total \( R \) es el producto del precio \( p \) y la cantidad demandada \( x \). Entonces,

\[ R(p) = p \cdot x \]

Dado que \( x = 100 \ln(16 - p^2) \), podemos escribir:

\[ R(p) = p \cdot 100 \ln(16 - p^2) \]

\[ R(p) = 100p \ln(16 - p^2) \]

2. **Derivar la función de ingreso total con respecto al precio \( p \) para encontrar el ingreso marginal \( IM \):**

Para encontrar el ingreso marginal, necesitamos calcular la derivada de \( R(p) \) con respecto a \( p \):

\[ IM = \frac{dR}{dp} \]

Usamos la regla del producto para derivar \( R(p) \):

\[ R(p) = 100p \ln(16 - p^2) \]

La derivada de un producto \( uv \) es \( u'v + uv' \), donde \( u = 100p \) y \( v = \ln(16 - p^2) \).

Calculamos \( u' \) y \( v' \):

\[ u' = \frac{d(100p)}{dp} = 100 \]

Para \( v \):

\[ v = \ln(16 - p^2) \]

Usamos la regla de la cadena para derivar \( v \):

\[ v' = \frac{d}{dp} \ln(16 - p^2) = \frac{1}{16 - p^2} \cdot \frac{d(16 - p^2)}{dp} \]

La derivada de \( 16 - p^2 \) con respecto a \( p \) es:

\[ \frac{d(16 - p^2)}{dp} = -2p \]

Por lo tanto,

\[ v' = \frac{-2p}{16 - p^2} \]

Ahora, aplicamos la regla del producto:

\[ \frac{dR}{dp} = u'v + uv' \]

\[ \frac{dR}{dp} = 100 \ln(16 - p^2) + 100p \cdot \frac{-2p}{16 - p^2} \]

Simplificamos la expresión:

\[ \frac{dR}{dp} = 100 \ln(16 - p^2) - \frac{200p^2}{16 - p^2} \]

Por lo tanto, la función de ingreso marginal \( IM \) es:

\[ IM = 100 \ln(16 - p^2) - \frac{200p^2}{16 - p^2} \]

¿Quieres detalles adicionales sobre este proceso o tienes alguna otra pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para ampliar la información:

1. ¿Qué representa la función de ingreso marginal?
2. ¿Cómo se interpreta la derivada de una función en términos de ingresos?
3. ¿Qué impacto tiene el precio en la cantidad demandada según esta relación de demanda?
4. ¿Cómo afecta la elasticidad de la demanda a la función de ingreso marginal?
5. ¿Qué significa un ingreso marginal negativo?
6. ¿Cómo se puede utilizar la función de ingreso marginal para tomar decisiones de precios?
7. ¿Qué sucede con el ingreso marginal cuando el precio es muy alto?
8. ¿Cómo se relaciona el ingreso marginal con el costo marginal?

**Tip:** Al derivar productos de funciones, recuerda usar la regla del producto y la regla de la cadena adecuadamente para evitar errores en los cálculos.

Discover how to derive the marginal revenue function from a demand equation x = 100 ln(16 - p^2). This involves using calculus to derive the revenue function and then finding its derivative with respect to price. Suitable for advanced high school students and college calculus learners.

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