El gráfico de un afunción h pasa por el punto (π/12;5) Sabiendo que h´(x)=4cos2x, halle h(x)

Para encontrar la función \( h(x) \) dada la derivada \( h'(x) = 4\cos(2x) \) y el hecho de que pasa por el punto \( \left(\frac{\pi}{12}, 5\right) \), seguimos estos pasos:

1. **Integrar \( h'(x) \) para encontrar \( h(x) \)**:
   \[
   h(x) = \int 4\cos(2x) \, dx
   \]

2. **Resolver la integral**:
   Para integrar, usamos la regla básica de integración para el coseno:
   \[
   \int \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a}\sin(ax) + C
   \]
   En este caso, \( a = 2 \), entonces:
   \[
   h(x) = 4 \int \cos(2x) \, dx = 4 \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right) + C
   \]
   Simplificando:
   \[
   h(x) = 2\sin(2x) + C
   \]

3. **Usar la condición inicial para encontrar \( C \)**:
   Sabemos que \( h\left(\frac{\pi}{12}\right) = 5 \). Sustituimos en la ecuación:
   \[
   5 = 2\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{12}\right) + C
   \]
   Simplificando el ángulo:
   \[
   5 = 2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + C
   \]
   Sabemos que \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \), por lo que:
   \[
   5 = 2\left(\frac{1}{2}\right) + C = 1 + C
   \]
   Entonces:
   \[
   C = 5 - 1 = 4
   \]

4. **Escribir la función final**:
   \[
   h(x) = 2\sin(2x) + 4
   \]

Por lo tanto, la función \( h(x) \) es:

\[
h(x) = 2\sin(2x) + 4
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas
1. ¿Cómo afecta la constante \( C \) al gráfico de la función?
2. ¿Qué sucede con la función \( h(x) \) si cambiamos la derivada inicial \( h'(x) \)?
3. ¿Cómo se interpreta el punto \( \left(\frac{\pi}{12}, 5\right) \) en el contexto del gráfico de \( h(x) \)?
4. ¿Qué otras técnicas se pueden usar para verificar la exactitud de la función obtenida?
5. ¿Cómo afecta la frecuencia del seno a la forma de la función \( h(x) \)?

**Tip:** Siempre verifica que la solución cumpla con las condiciones iniciales dadas, como los puntos por los que pasa la función.

Learn how to find function h(x) given its derivative h'(x) = 4cos(2x) and the initial condition that h passes through the point (π/12, 5). This problem involves calculus, integration, and trigonometry, suitable for university-level students.

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