on étudie la suite (an) dite de Fibonacci définie par :
a0 = 0 , a1 = 1 et, pour tout n dans N : an+2 = an+1 + an .
A) 1°) Montrer que, pour tout n de N*, an  N* 

Nous étudions la suite de Fibonacci, définie par :
- \( a_0 = 0 \)
- \( a_1 = 1 \)
- Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( a_{n+2} = a_{n+1} + a_n \).

**Question** : Montrer que, pour tout \( n \in \mathbb{N^*} \), \( a_n \in \mathbb{N^*} \).

### Preuve :
L'objectif est de montrer que tous les termes de la suite de Fibonacci appartiennent à l'ensemble des entiers naturels non nuls \( \mathbb{N^*} \) pour \( n \geq 1 \).

1. **Initialisation** :
   Vérifions les premiers termes :
   - \( a_0 = 0 \), mais ceci ne nous concerne pas puisque nous étudions pour \( n \geq 1 \).
   - \( a_1 = 1 \), et \( 1 \in \mathbb{N^*} \).
   - \( a_2 = a_1 + a_0 = 1 + 0 = 1 \), et \( 1 \in \mathbb{N^*} \).

2. **Hérédité** :
   Supposons que pour un entier \( n \in \mathbb{N^*} \), \( a_n \in \mathbb{N^*} \) et \( a_{n+1} \in \mathbb{N^*} \).

   Alors, selon la relation de récurrence :
   \[
   a_{n+2} = a_{n+1} + a_n
   \]
   Puisque \( a_n \) et \( a_{n+1} \) sont tous deux dans \( \mathbb{N^*} \), leur somme, \( a_{n+2} \), est également dans \( \mathbb{N^*} \) (puisque la somme de deux entiers naturels non nuls est un entier naturel non nul).

3. **Conclusion** :
   Par récurrence, on peut conclure que pour tout \( n \in \mathbb{N^*} \), \( a_n \in \mathbb{N^*} \).

Ainsi, tous les termes de la suite de Fibonacci pour \( n \geq 1 \) appartiennent à \( \mathbb{N^*} \).

### Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails ?

### Questions connexes :
1. Pourquoi la somme de deux entiers naturels non nuls est-elle toujours dans \( \mathbb{N^*} \) ?
2. Quelles sont les propriétés spécifiques de la suite de Fibonacci ?
3. Comment prouver par récurrence la relation de Fibonacci pour des valeurs particulières de \( n \) ?
4. Peut-on généraliser cette preuve à d'autres suites récurrentes ?
5. Quelle est la relation entre la suite de Fibonacci et le nombre d'or ?

### Astuce :
Lorsque vous travaillez avec des suites récurrentes, l'utilisation de la récurrence mathématique est un outil puissant pour prouver des propriétés globales de la suite.

on étudie la suite (an) dite de Fibonacci définie par : a0 = 0, a1 = 1 et, pour tout n dans N : an+2 = an+1 + an. A) 1°) Montrer que, pour tout n de N*, an  N*.

Explore how to prove that all terms in the Fibonacci sequence, starting from n ≥ 1, belong to the set of non-zero natural numbers. This proof utilizes recurrence relations and mathematical induction. Suitable for Grades 10-12 students studying advanced mathematical concepts.

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