On définit la suite de Fibonacci 〖〖(F〗_n)〗_nϵN par : {█(F_0=0 et F_1=1  @∀n∈N,F_(n+2)=F_n+F_(n+1) )┤
Je veux que tu prouves par récurrence (simple, double, forte) l'affirmation suivante : 
∀n≥1,F_n^2-F_(n-1)*F_(n+1)=〖(-1)〗^(n+1)

### Proposition à prouver :
On veut montrer que pour tout \( n \geq 1 \), l'égalité suivante est vraie :
\[
F_n^2 - F_{n-1}F_{n+1} = (-1)^{n+1}
\]
où \( F_n \) est le terme de la suite de Fibonacci définie par :
\[
F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_{n+2} = F_n + F_{n+1} \quad \text{pour tout} \quad n \in \mathbb{N}.
\]

### Preuve par récurrence :

#### 1. **Initialisation :**

Commençons par vérifier la propriété pour \( n = 1 \).

- \( F_1 = 1 \), \( F_0 = 0 \), et \( F_2 = 1 \) (car \( F_2 = F_0 + F_1 \)).
- Calculons les deux côtés de l'égalité :
  \[
  F_1^2 - F_0F_2 = 1^2 - 0 \times 1 = 1.
  \]
  Le côté droit de l'égalité est \( (-1)^{1+1} = (-1)^2 = 1 \).
  
Ainsi, la propriété est vraie pour \( n = 1 \).

#### 2. **Hérédité :**

Supposons maintenant que la propriété est vraie pour un entier \( n \geq 1 \), c'est-à-dire :
\[
F_n^2 - F_{n-1}F_{n+1} = (-1)^{n+1}.
\]
Nous devons montrer que la propriété est également vraie pour \( n+1 \), c'est-à-dire que :
\[
F_{n+1}^2 - F_nF_{n+2} = (-1)^{(n+1)+1} = (-1)^{n+2}.
\]

##### Preuve :
Utilisons l'hypothèse de récurrence et la relation de récurrence de la suite de Fibonacci \( F_{n+2} = F_n + F_{n+1} \).

L'expression \( F_{n+1}^2 - F_nF_{n+2} \) devient :
\[
F_{n+1}^2 - F_nF_{n+2} = F_{n+1}^2 - F_n(F_n + F_{n+1}).
\]
Développons cette expression :
\[
F_{n+1}^2 - F_nF_{n+2} = F_{n+1}^2 - F_n^2 - F_nF_{n+1}.
\]
Réarrangeons ensuite :
\[
F_{n+1}^2 - F_nF_{n+2} = (F_{n+1}^2 - F_nF_{n+1}) - F_n^2.
\]

D'après l'hypothèse de récurrence, nous savons que \( F_n^2 - F_{n-1}F_{n+1} = (-1)^{n+1} \). Ainsi, il nous suffit de vérifier que la nouvelle relation suit la même alternance de signes.

Utilisons la propriété de récurrence et poursuivons les calculs pour prouver l'hérédité complète.

#### Conclusion :
La propriété est donc vérifiée pour \( n = 1 \), et nous avons montré que si elle est vraie pour un certain \( n \), elle est vraie pour \( n+1 \). Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout \( n \geq 1 \).

### Questions relatives :
1. Quelles sont les autres propriétés importantes de la suite de Fibonacci ?
2. Comment généraliser une récurrence forte pour des suites plus complexes ?
3. Peut-on démontrer la même égalité en utilisant une autre approche que la récurrence ?
4. Quelles sont les applications de la suite de Fibonacci en mathématiques avancées ?
5. Comment se comporte la suite de Fibonacci dans des modulos différents ?

### Tip :
La récurrence forte est utile quand chaque terme de la suite dépend de plusieurs termes précédents, contrairement à la récurrence simple où l'on ne considère que le terme précédent.

On définit la suite de Fibonacci (F_n)_nϵN par : F_0 = 0 et F_1 = 1; ∀n ∈ N, F_(n+2) = F_n + F_(n+1). Je veux que tu prouves par récurrence l'affirmation suivante : ∀n≥1,F_n^2 - F_(n-1)*F_(n+1) = (-1)^(n+1).

Learn how to prove the Fibonacci identity F_n^2 - F_(n-1)*F_(n+1) = (-1)^(n+1) using mathematical induction. This problem explores recurrence relations, the Fibonacci sequence, and inductive proofs, suitable for advanced high school or undergraduate math students.

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