3.	El largo de una sala excede a su ancho en 4 m. Si cada dimensión aumentara 4m,
 el área aumentaría al doble. Hallar las dimensiones de la sala.


Para resolver este problema, vamos a definir algunas variables:

- Sea \( x \) el ancho de la sala (en metros).
- Como el largo excede al ancho en 4 m, el largo será \( x + 4 \) m.

El área original de la sala es entonces:

\[
A = x \cdot (x + 4)
\]

Si cada dimensión de la sala aumenta en 4 m, el nuevo ancho será \( x + 4 \) m y el nuevo largo será \( (x + 4) + 4 = x + 8 \) m. El nuevo área, que es el doble del área original, será:

\[
2A = (x + 4) \cdot (x + 8)
\]

Sustituyendo \( A = x(x + 4) \), la ecuación para el doble del área se convierte en:

\[
2x(x + 4) = (x + 4)(x + 8)
\]

Ahora, vamos a resolver esta ecuación. 

### Paso 1: Expandir la ecuación

\[
2x^2 + 8x = (x + 4)(x + 8)
\]

Expandimos el producto del lado derecho:

\[
2x^2 + 8x = x^2 + 8x + 4x + 32
\]

Simplificamos:

\[
2x^2 + 8x = x^2 + 12x + 32
\]

### Paso 2: Reorganizar y simplificar

Llevamos todos los términos a un solo lado:

\[
2x^2 + 8x - x^2 - 12x - 32 = 0
\]

Simplificamos la ecuación:

\[
x^2 - 4x - 32 = 0
\]

### Paso 3: Resolver la ecuación cuadrática

Utilizamos la fórmula cuadrática:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

donde \( a = 1 \), \( b = -4 \) y \( c = -32 \). Sustituyendo los valores:

\[
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32)}}{2 \cdot 1}
\]

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}
\]

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{144}}{2}
\]

\[
x = \frac{4 \pm 12}{2}
\]

Obtenemos dos soluciones para \( x \):

1. \( x = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
2. \( x = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Como el ancho de la sala no puede ser negativo, tomamos la solución positiva:

\[
x = 8
\]

### Paso 4: Calcular el largo de la sala

El largo es:

\[
x + 4 = 8 + 4 = 12
\]

### Respuesta

Las dimensiones de la sala son:

- Ancho: **8 metros**
- Largo: **12 metros**

¿Te gustaría más detalles sobre este proceso o tienes alguna pregunta?

---

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se determina si una ecuación cuadrática tiene soluciones reales?
2. ¿Qué métodos alternativos se pueden usar para resolver ecuaciones cuadráticas?
3. ¿Cómo se calcula el área de una sala con diferentes formas geométricas?
4. ¿Cómo cambiaría la solución si el problema tuviera diferentes condiciones?
5. ¿Cómo se interpretan soluciones negativas en problemas geométricos?

**Tip:** En problemas de geometría, definir variables claras desde el inicio ayuda a estructurar el razonamiento y evitar errores.

Learn how to solve a geometric problem involving the dimensions of a room. Understand how the area changes when dimensions are increased by 4 meters. This problem covers algebraic concepts, including the quadratic equation formula and its application in geometry. Suitable for Grades 7-9.

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