On étudie la suite (an) dite de Fibonacci définie par :
a0 = 0 , a1 = 1 et, pour tout n dans N : an+2 = an+1 + an .
A) 1°) Montrer que, pour tout n de N*, an  N* .
 2°) Montrer que la suite (an) est strictement croissante à partir du rang 2.
 3°) Montrer que, pour tout n de N, an  n – 1 .
 4°) Donner la limite de (an) lorsque n tend vers +.
B) 1°) Après avoir conjecturer sur les premiers indices, établir, pour tout n de N*,une expression plus simple de :
 a) un = (an)
2
– an+1 an-1 . 
 b) vn = a0 + a1 + … +an .
 2°) Montrer, de deux façons différentes, que pour tout n de N* : 
a)
=
n
k 0
2
k
a = an an+1 .
b)
= +
n
k 2 k-1 k 1
a a
1
 = 1 – 
n n 1
a a
1
+


L'étude de la suite de Fibonacci est une problématique classique en mathématiques, en particulier en algèbre et en analyse. Je vais vous guider à travers les différentes étapes de cette étude.

### Partie A

**1°) Montrer que, pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), \( a_n \in \mathbb{N}^* \).**

Pour montrer que \( a_n \) appartient à \( \mathbb{N}^* \) (c'est-à-dire que chaque terme de la suite est un entier naturel positif), on peut procéder par récurrence.

- **Initialisation :**  
  On a \( a_0 = 0 \) et \( a_1 = 1 \). Donc \( a_1 \in \mathbb{N}^* \).

- **Hérédité :**  
  Supposons que \( a_n \in \mathbb{N}^* \) et \( a_{n+1} \in \mathbb{N}^* \).  
  Montrons que \( a_{n+2} \) est aussi un entier naturel positif.
  \( a_{n+2} = a_{n+1} + a_n \) où \( a_n \) et \( a_{n+1} \) sont par hypothèse des entiers naturels positifs.  
  La somme de deux entiers naturels positifs est un entier naturel positif, donc \( a_{n+2} \in \mathbb{N}^* \).

Par récurrence, on en déduit que pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), \( a_n \in \mathbb{N}^* \).

**2°) Montrer que la suite \( (a_n) \) est strictement croissante à partir du rang 2.**

La suite de Fibonacci est définie par la relation \( a_{n+2} = a_{n+1} + a_n \).

- **Initialisation :**  
  Vérifions pour \( n = 2 \) : \( a_2 = a_1 + a_0 = 1 + 0 = 1 \) et \( a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2 \).  
  Donc \( a_3 > a_2 \), la suite est croissante au rang 2.

- **Hérédité :**  
  Supposons que \( a_{n+1} > a_n \) pour un certain \( n \geq 2 \).  
  Alors, \( a_{n+2} = a_{n+1} + a_n > a_{n+1} \) (car \( a_n \) est positif).
  
Par récurrence, on conclut que la suite \( (a_n) \) est strictement croissante pour tout \( n \geq 2 \).

**3°) Montrer que, pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( a_n \geq n - 1 \).**

On peut encore utiliser la méthode par récurrence.

- **Initialisation :**  
  Pour \( n = 0 \), \( a_0 = 0 \) et \( n - 1 = -1 \), donc \( a_0 \geq -1 \).  
  Pour \( n = 1 \), \( a_1 = 1 \) et \( n - 1 = 0 \), donc \( a_1 \geq 0 \).

- **Hérédité :**  
  Supposons que \( a_n \geq n - 1 \) et \( a_{n+1} \geq n \).  
  Montrons que \( a_{n+2} \geq n + 1 \).

  \( a_{n+2} = a_{n+1} + a_n \geq (n) + (n - 1) = 2n - 1 \geq n + 1 \).

Par récurrence, on obtient que \( a_n \geq n - 1 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

**4°) Donner la limite de \( (a_n) \) lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \).**

La suite de Fibonacci tend vers l'infini lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \). Cela s'explique par le fait que chaque terme est la somme des deux précédents, ce qui entraîne une croissance exponentielle.

### Partie B

**1°) Après avoir conjecturé sur les premiers indices, établir, pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), une expression plus simple de :**

**a) \( u_n = a_n^2 - a_{n+1}a_{n-1} \)**

On peut utiliser la formule de Fibonacci et les propriétés des suites pour simplifier cette expression.

- **Base :**  
  \( a_n^2 - a_{n+1}a_{n-1} \) peut être réécrit en utilisant l'identité de Cassini :  
  \[
  u_n = (-1)^{n-1}
  \]
  Ce résultat peut être démontré en utilisant l'induction.

**b) \( v_n = a_0 + a_1 + \dots + a_n \)**

La somme des \( n+1 \) premiers termes de la suite de Fibonacci peut être exprimée comme :  
\[
v_n = a_{n+2} - 1
\]
Ceci peut être démontré par induction ou en utilisant des identités de la suite de Fibonacci.

**2°) Montrer, de deux façons différentes, que pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \) :**

**a) \( \sum_{k=0}^{n} a_k^2 = a_n a_{n+1} \)**

La première méthode consiste à utiliser l'induction. La deuxième méthode consiste à utiliser des propriétés de convolutions dans les suites.

**b) \( \sum_{k=2}^{n} a_{k-1}a_k = a_n a_{n+1} - 1 \)**

Cette somme peut également être démontrée par l'induction ou en manipulant des identités de la suite de Fibonacci.

### Avez-vous des questions ou besoin de détails supplémentaires ? 

Voici 5 questions relatives à ces informations :
1. Comment démontrer l'identité de Cassini pour la suite de Fibonacci ?
2. Quelle est la forme explicite du terme général de la suite de Fibonacci ?
3. Comment calculer la somme des termes au carré d'une suite donnée ?
4. Quelles sont les propriétés principales des suites récurrentes linéaires ?
5. Comment se comportent les suites de Fibonacci dans des systèmes dynamiques ou des modèles de croissance exponentielle ?

**Tip :** Lors de la manipulation des suites de Fibonacci, il est souvent utile de connaître les identités classiques, comme celle de Cassini et d'autres identités pour simplifier les calculs.

On étudie la suite (an) dite de Fibonacci définie par : a0 = 0, a1 = 1 et, pour tout n dans N : an+2 = an+1 + an. A) 1°) Montrer que, pour tout n de N*, an ∈ N*. 2°) Montrer que la suite (an) est strictement croissante à partir du rang 2. 3°) Montrer que, pour tout n de N, an ≥ n – 1. 4°) Donner la limite de (an) lorsque n tend vers +∞. B) 1°) Après avoir conjecturer sur les premiers indices, établir, pour tout n de N*,une expression plus simple de : a) un = (an)^2 – an+1 * an-1. b) vn = a0 + a1 + … +an. 2°) Montrer, de deux façons différentes, que pour tout n de N* : a) Σ(k=0, n) ak^2 = an * an+1. b) Σ(k=2, n) ak-1 * ak = an * an+1 - 1.

Explore a comprehensive study of the Fibonacci sequence, including recurrence relations, summation identities, and Cassini's identity. Learn how to prove the growth properties of the Fibonacci sequence and apply summation formulas, suitable for advanced math students.

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