On étudie la suite (an) dite de Fibonacci définie par :
a0 = 0 , a1 = 1 et, pour tout n dans N : an+2 = an+1 + an .
A) 1°) Montrer que, pour tout n de N*, an  N* .
 2°) Montrer que la suite (an) est strictement croissante à partir du rang 2.
 3°) Montrer que, pour tout n de N, an  n – 1 .
 4°) Donner la limite de (an) lorsque n tend vers +.
B) 1°) Après avoir conjecturer sur les premiers indices, établir, pour tout n de N*,une expression plus simple de :
 a) un = (an)
2
– an+1 an-1 .

Pour étudier la suite de Fibonacci définie par \( a_0 = 0 \), \( a_1 = 1 \) et, pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( a_{n+2} = a_{n+1} + a_n \), analysons les différentes questions proposées.

### A) 1°) Montrer que, pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), \( a_n \in \mathbb{N}^* \).

#### Preuve :
- La définition de la suite de Fibonacci montre que les deux premiers termes sont \( a_0 = 0 \) et \( a_1 = 1 \), qui sont des entiers naturels.
- Ensuite, pour \( n \geq 2 \), la relation de récurrence \( a_{n+2} = a_{n+1} + a_n \) indique que chaque terme de la suite est la somme de deux termes précédents, donc si \( a_n \) et \( a_{n+1} \) sont des entiers naturels, alors \( a_{n+2} \) l'est aussi.
  
Par récurrence, on montre que \( a_n \in \mathbb{N} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

### 2°) Montrer que la suite \( (a_n) \) est strictement croissante à partir du rang 2.

#### Preuve :
- On sait que \( a_1 = 1 \) et \( a_2 = a_1 + a_0 = 1 + 0 = 1 \).
- Pour \( n \geq 2 \), \( a_{n+2} = a_{n+1} + a_n \), donc chaque nouveau terme est strictement supérieur au précédent puisque \( a_{n+1} \) et \( a_n \) sont des entiers naturels strictement positifs à partir de \( n = 2 \).

Cela prouve que la suite est strictement croissante à partir du rang 2.

### 3°) Montrer que, pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( a_n \geq n - 1 \).

#### Preuve :
Nous allons procéder par récurrence sur \( n \).

**Initialisation :** 
- Pour \( n = 0 \), \( a_0 = 0 \geq 0 - 1 = -1 \).
- Pour \( n = 1 \), \( a_1 = 1 \geq 1 - 1 = 0 \).

**Hérédité :** Supposons que pour un certain \( n \), \( a_n \geq n - 1 \) et \( a_{n+1} \geq n \). Montrons que \( a_{n+2} \geq (n+1) \).
- On a \( a_{n+2} = a_{n+1} + a_n \).
- Par hypothèse de récurrence, \( a_n \geq n - 1 \) et \( a_{n+1} \geq n \), donc :
  \[
  a_{n+2} = a_{n+1} + a_n \geq n + (n-1) = 2n - 1.
  \]
  Or \( 2n - 1 \geq n + 1 \) pour tout \( n \geq 1 \), ce qui montre que \( a_{n+2} \geq n + 1 \).

Ainsi, par récurrence, on a \( a_n \geq n - 1 \) pour tout \( n \).

### 4°) Donner la limite de \( (a_n) \) lorsque \( n \to +\infty \).

La suite de Fibonacci croît exponentiellement, et il est bien connu que \( \lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty \). La suite n'a donc pas de limite finie.

### B) 1°) Conjecturer sur les premiers indices, puis établir pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), une expression plus simple de :

#### a) \( a_n = a_n^2 - a_{n+1} a_{n-1} \)

Pour comprendre cette expression, analysons les premiers termes de la suite de Fibonacci.

- Pour \( n = 2 \), \( a_2 = 1 \), \( a_3 = 2 \), \( a_1 = 1 \), donc :
  \[
  a_2^2 - a_3 a_1 = 1^2 - 2 \times 1 = 1 - 2 = -1.
  \]
  
- Pour \( n = 3 \), \( a_3 = 2 \), \( a_4 = 3 \), \( a_2 = 1 \), donc :
  \[
  a_3^2 - a_4 a_2 = 2^2 - 3 \times 1 = 4 - 3 = 1.
  \]

Cela suggère que l'expression ne conduit pas nécessairement à une simplification immédiate de la suite dans sa forme générale. Il semble qu'il faille davantage d'analyse pour établir une conjecture générale.

### Conclusion

Si vous avez des questions supplémentaires sur une partie du raisonnement ou si vous souhaitez des détails supplémentaires sur une partie spécifique de la démonstration, n'hésitez pas à demander.

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**Astuce :** La suite de Fibonacci est étroitement liée à la **section dorée** et à la géométrie en spirale, apparaissant souvent dans des contextes artistiques et naturels !

On étudie la suite (an) dite de Fibonacci définie par : a0 = 0 , a1 = 1 et, pour tout n dans N : an+2 = an+1 + an . A) 1°) Montrer que, pour tout n de N*, an  N* . 2°) Montrer que la suite (an) est strictement croissante à partir du rang 2. 3°) Montrer que, pour tout n de N, an  n – 1 . 4°) Donner la limite de (an) lorsque n tend vers +. B) 1°) Après avoir conjecturer sur les premiers indices, établir, pour tout n de N*,une expression plus simple de : a) un = (an)^2 – an+1 an-1 .

Explore the properties of the Fibonacci sequence through mathematical induction and recurrence relations. Learn how to prove the monotonicity and growth rate of the sequence, and understand its behavior as n approaches infinity. Suitable for high school students in Grades 11-12.

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