Para factorizar el polinomio \( 3x^3 - 5x^2 - 4x + 4 \), seguimos estos pasos:

1. **Buscar raíces racionales posibles:** Usamos el teorema del factor, que dice que si \( x = r \) es una raíz del polinomio, entonces \( (x - r) \) es un factor del polinomio. Las posibles raíces racionales se encuentran utilizando los divisores del término constante y el coeficiente principal.

   Para el polinomio \( 3x^3 - 5x^2 - 4x + 4 \), las raíces posibles son las fracciones \( \frac{p}{q} \), donde \( p \) es un divisor del término constante \( 4 \) y \( q \) es un divisor del coeficiente principal \( 3 \).

   Los divisores de \( 4 \) son \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \) y los divisores de \( 3 \) son \( \pm 1, \pm 3 \).

   Entonces, las posibles raíces racionales son:
   \[
   \pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}
   \]

2. **Probar las raíces posibles:** Evaluamos el polinomio en cada una de las raíces posibles para encontrar cuál hace que el polinomio se iguale a cero.

   Probando con \( x = 1 \):
   \[
   3(1)^3 - 5(1)^2 - 4(1) + 4 = 3 - 5 - 4 + 4 = -2 \quad (\text{no es raíz})
   \]

   Probando con \( x = -1 \):
   \[
   3(-1)^3 - 5(-1)^2 - 4(-1) + 4 = -3 - 5 + 4 + 4 = 0 \quad (\text{sí es raíz})
   \]

   Entonces, \( x = -1 \) es una raíz, y por lo tanto \( (x + 1) \) es un factor.

3. **División sintética:** Dividimos el polinomio original entre \( x + 1 \) para encontrar el otro factor.

   Dividimos \( 3x^3 - 5x^2 - 4x + 4 \) entre \( x + 1 \) usando división sintética o larga. El resultado es:

   \[
   3x^2 - 8x + 4
   \]

   Así que:
   \[
   3x^3 - 5x^2 - 4x + 4 = (x + 1)(3x^2 - 8x + 4)
   \]

4. **Factorizar el trinomio cuadrático:** Ahora factorizamos el trinomio cuadrático \( 3x^2 - 8x + 4 \).

   Buscamos dos números que multiplicados den \( 3 \times 4 = 12 \) y sumados den \( -8 \). Estos números son \( -6 \) y \( -2 \).

   Reescribimos el trinomio:
   \[
   3x^2 - 6x - 2x + 4
   \]

   Agrupamos y factorizamos:
   \[
   3x(x - 2) - 2(x - 2)
   \]
   \[
   = (3x - 2)(x - 2)
   \]

   Entonces, la factorización completa es:
   \[
   3x^3 - 5x^2 - 4x + 4 = (x + 1)(3x - 2)(x - 2)
   \]

¿Necesitas más detalles o alguna explicación adicional?

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**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo se realiza la división sintética paso a paso?
2. ¿Qué es el teorema del factor y cómo se aplica?
3. ¿Cómo se identifican las raíces de un polinomio cúbico?
4. ¿Por qué se eligen divisores del término constante y del coeficiente principal al buscar raíces?
5. ¿Qué métodos existen para factorizar trinomios de la forma \( ax^2 + bx + c \)?
6. ¿Qué significa que un número sea raíz de un polinomio?
7. ¿Cómo se verifica si un polinomio está correctamente factorizado?
8. ¿Existen polinomios que no se pueden factorizar mediante raíces racionales?

**Tip:** Practicar la factorización de polinomios con coeficientes diferentes ayuda a mejorar la comprensión de este tipo de problemas.

Aprende cómo factorizar el polinomio 3x^3 - 5x^2 - 4x + 4 con una solución detallada paso a paso. Este problema cubre la factorización de polinomios, el uso del teorema del factor y la división sintética. Adecuado para estudiantes de Grados 10-12.

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