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factoriza los siguientes problemas con todo el procedimiento y en español

Voy a factorizar los siguientes problemas que me has proporcionado de acuerdo con la imagen:

### 05. \( 25p^2 - 60pq^5 + 36q^{10} \)

Este es un trinomio en el que primero podemos buscar un factor común.

1. **Factor común:** El máximo común divisor entre 25, 60 y 36 es 1, pero también podemos factorizar en términos de \( p \) y \( q \).

   Factor común: \( (p^2) \), nos quedamos con el trinomio \( 25 - 60q^3 + 36q^8 \).

2. **Factoring del trinomio**:

Podemos reescribir el polinomio como producto de dos binomios, pero debido a la complejidad, no hay una forma más sencilla de factorizarlo sin cambiar los exponentes o agrupar.

\[
25p^2 - 60pq^5 + 36q^{10} 
\]
No parece tener una factorización más sencilla y podría ser irreducible.

---

### 06. \( x^2 + 7x + 12 \)

Este es un trinomio cuadrado de la forma \( ax^2 + bx + c \), donde \( a = 1 \), \( b = 7 \) y \( c = 12 \).

1. **Factoring del trinomio:**

   Buscamos dos números que multiplicados den \( c = 12 \) y sumados den \( b = 7 \).

   Los números son 3 y 4, ya que \( 3 \times 4 = 12 \) y \( 3 + 4 = 7 \).

2. **Forma factorizada:**

   \[
   x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
   \]

---

### 07. \( x^2 - 9x + 20 \)

Este es otro trinomio cuadrado.

1. **Factoring del trinomio:**

   Buscamos dos números que multiplicados den \( c = 20 \) y sumados den \( b = -9 \).

   Los números son -4 y -5, ya que \( (-4) \times (-5) = 20 \) y \( (-4) + (-5) = -9 \).

2. **Forma factorizada:**

   \[
   x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)
   \]

---

### 08. \( x^2 + 2x - 35 \)

Este es otro trinomio cuadrado.

1. **Factoring del trinomio:**

   Buscamos dos números que multiplicados den \( c = -35 \) y sumados den \( b = 2 \).

   Los números son 7 y -5, ya que \( 7 \times (-5) = -35 \) y \( 7 + (-5) = 2 \).

2. **Forma factorizada:**

   \[
   x^2 + 2x - 35 = (x + 7)(x - 5)
   \]

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso en particular?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para practicar:

1. ¿Cómo identificar el factor común de un trinomio?
2. ¿Qué hacer si un trinomio no parece factorizarse fácilmente?
3. ¿Cuál es el método general para factorizar trinomios cuadrados?
4. ¿Cómo afectan los signos en los términos al factorizar?
5. ¿Qué otros tipos de factorización existen además de la factorización de trinomios?

**Consejo:** Siempre verifica tu factorización multiplicando los factores para asegurarte de que el resultado sea el mismo que el polinomio original.

Aprende a factorizar trinomios cuadráticos y polinomios de grado mayor con ejemplos como x^2 + 7x + 12 y 25p^2 - 60pq^5 + 36q^10. Esta guía incluye el método de producto-suma y factorización con factores comunes, ideal para estudiantes de grados 9 a 11.

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